ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-01-29   
Длинная вертикальная трубка длиной $l$ и радиусом $r_{0}$ заполнена жидкостью, для которой кинематическая вязкость равна $\nu$. За какой промежуток времени $t$ вся жидкость вытечет из трубки под действием силы тяжести? Влиянием сил поверхностного натяжения пренебречь. Процесс установления скорости жидкости считать мгновенным, а течение ламинарным.


Решение:


Выделим в жидкости цилиндр радиусом $r$, ось которого совпадает с осью трубки. Условие стационарного движения жидкости внутри цилиндра—равенство потока импульса через боковую поверхность разности сил, действующих на торцы:

$- 2 \pi r \eta dv/dr = \pi r^{2} p/l$,

где $p$ — перепад давления между концами трубки, $\eta = \nu \rho$ — динамическая вязкость, а $v(r)$ — скорость потока жидкости. Интегрируя это уравнение с граничным условием $v(r_{0}) = 0$, получаем

$v(r) = (p/4 \eta l)(r_{0}^{2} - r^{2})$.

Интегрируя $\rho v(r)$ по сечению трубки, находим поток массы (формула Пуазейля)

$m(t) = m_{0} - \rho g \pi r_{0}^{4}t / ( 8 \nu)$,

где $h(t)$ — высота столба жидкости, а $p = \rho gh$ — перепад давления. Интегрирование этого уравнения дает

$m(t) = m_{0} - \rho g \pi r_{0}^{4} t /(8 \nu)$,

что. совместно с начальным условием $m_{0} = \pi r_{0}^{2} l \rho$, приводит к $l = 8 \nu l/(gr_{0}^{2})$.