Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2235
2017-01-29 
Доказать, что для вещества с произвольным уравнением состояния, описываемым однозначной функцией $T = T(p, V)$, две политропы не могут встречаться более чем в одном состоянии.
Решение:
Допустим противное. Изобразим участки политроп А и B между двумя соседними состояниями 1 и 2, в которых политропы встречаются, и составим из них замкнутый цикл, как показано на рис. а. Тогда вычисляя интегралы по этому циклу с учетом того, что на политропах $dQ = CdT$, получаем
$\oint dS = (C_{A} - C_{B}) ln (T_{2}/T_{1}) A = \oint dQ = (C_{A} - C_{B}) (T_{2} - T_{1})$.
Здесь $T_{1}$ и $T_{2}$ — температуры в точках 1 и 2, а $C_{A}$ и $C_{B}$ — теплоемкости па политропах A и В. Первый из интегралов аннулируется, так как энтропия является функцией состояния и поэтому интеграл от нее по замкнутому контуру равен нулю. Непосредственно видно, что при этом автоматически аннулируется и второй интеграл вне зависимости от того, за счет какого фактора обращается в пуль первый интеграл ($C_{A} = C_{B}$ или $T_{1} = T_{2}$). Но так как работа $A$ равна площади на $pV$ - диаграмме, ограниченной циклом, то это означает полное совпадение кривых А и В.
Если функция $T(p, V)$ неоднозначна, то это доказательство теряет силу, так как возможна ситуация, представленная на рис. б. Здесь в точке $p^{ \prime}, V^{ \prime}$ обеим политропам отвечают различные температуры, а $\oint pdV$ аннулируется за счет сокращения интегралов по двум заштрихованным областям. Что же касается интегралов по контурам, охватывающим одну из заштрихованных областей, то $\oint dS$ и $\oint dA$ отличны от нуля, так как эти контуры не отвечают замкнутым циклам.
Доказать, что для вещества с произвольным уравнением состояния, описываемым однозначной функцией $T = T(p, V)$, две политропы не могут встречаться более чем в одном состоянии.
Решение:
Допустим противное. Изобразим участки политроп А и B между двумя соседними состояниями 1 и 2, в которых политропы встречаются, и составим из них замкнутый цикл, как показано на рис. а. Тогда вычисляя интегралы по этому циклу с учетом того, что на политропах $dQ = CdT$, получаем
$\oint dS = (C_{A} - C_{B}) ln (T_{2}/T_{1}) A = \oint dQ = (C_{A} - C_{B}) (T_{2} - T_{1})$.
Здесь $T_{1}$ и $T_{2}$ — температуры в точках 1 и 2, а $C_{A}$ и $C_{B}$ — теплоемкости па политропах A и В. Первый из интегралов аннулируется, так как энтропия является функцией состояния и поэтому интеграл от нее по замкнутому контуру равен нулю. Непосредственно видно, что при этом автоматически аннулируется и второй интеграл вне зависимости от того, за счет какого фактора обращается в пуль первый интеграл ($C_{A} = C_{B}$ или $T_{1} = T_{2}$). Но так как работа $A$ равна площади на $pV$ - диаграмме, ограниченной циклом, то это означает полное совпадение кривых А и В.
Если функция $T(p, V)$ неоднозначна, то это доказательство теряет силу, так как возможна ситуация, представленная на рис. б. Здесь в точке $p^{ \prime}, V^{ \prime}$ обеим политропам отвечают различные температуры, а $\oint pdV$ аннулируется за счет сокращения интегралов по двум заштрихованным областям. Что же касается интегралов по контурам, охватывающим одну из заштрихованных областей, то $\oint dS$ и $\oint dA$ отличны от нуля, так как эти контуры не отвечают замкнутым циклам.
