Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2231
2017-01-29 
Ракета стартует с вершины самой высокой лунной горы. Угол между направлением струи вылетающих газов и горизонтом поддерживается равным $\phi = 0,1 рад$. Скорость струи относительно paкeты равна $u = 4 км/с$. Найти изменение массы ракеты в зависимости от времени $M(t)$ при условии, что ракета будет двигаться горизонтально. За какое, время $t$ она наберет 1-ю космическую скорость? Во сколько раз за это время уменьшится масса ракеты? Какова будет перегрузка космонавтов?
Решение:
Уравнения для вертикальной $v_{z}$ и горизонтальной $v_{x}$ составляющих скорости ракеты имеют вид
$M \dot{v}_{z} = - \dot{M} u \sin \phi - g_{Л}M. M \dot{v}_{x} = - \dot{M} u \cos \phi$.
где $M$ — масса ракеты в момент времени $t, g_{Л}$ - ускорение свободного падения иа поверхности Луны. По условию $v_{z} = 0$, поэтому из первого уравнения имеем
$\dot{M} = - Mg_{Л} / (u \sin \phi) = - M/T$,
где через $T$ обозначена постоянная величина, имеющая размерность времени и равная $T = u \sin \phi/ g_{Л} \approx 235 с$. Отсюда находим
$M = M_{0} e^{ - \frac{t}{T}}$.
Подставляя $\dot{M}$ и $M$ во второе уравнение, имеем
$\dot{v}_{x} = g_{Л} ctg \phi \approx g_{Л}/ \phi. v_{x} = g_{Л} t ctg \phi \approx g_{Л}t / \phi$.
Время $t$, необходимое для достижения 1-й космической скорости $v_{1} = (R_{Л} g_{Л})^{1/2} = 1,7 км/с$. равно
$t = v_{1}/(g_{Л} ctg \phi) \approx v_{1} \phi / \phi_{Л} \approx 100 с$.
где $R_{Л}$ — радиус Луны.
Полученное выражение для $t$ справедливо и при $\phi \rightarrow 0$. Это вытекает из условия $v_{z} = 0$. При $\phi \rightarrow 0$ расход массы бесконечно растет и. следовательно, время разгона до 1-й космической скорости стремится к нулю.
Относительное изменение массы ракеты за счет сожженною горючего
$[M(0) - M(t))/M(0) = 1 - e (- t/T) \approx 0,35$.
Перегрузка космонавтов равна
$g_{эф} = ( g_{Л}^{2} + \dot{v}_{x}^{2} )^{1/2} \approx \dot{v}_{x} \approx g_{Л}/ \phi = 17 м/с$.
Ракета стартует с вершины самой высокой лунной горы. Угол между направлением струи вылетающих газов и горизонтом поддерживается равным $\phi = 0,1 рад$. Скорость струи относительно paкeты равна $u = 4 км/с$. Найти изменение массы ракеты в зависимости от времени $M(t)$ при условии, что ракета будет двигаться горизонтально. За какое, время $t$ она наберет 1-ю космическую скорость? Во сколько раз за это время уменьшится масса ракеты? Какова будет перегрузка космонавтов?
Решение:
Уравнения для вертикальной $v_{z}$ и горизонтальной $v_{x}$ составляющих скорости ракеты имеют вид
$M \dot{v}_{z} = - \dot{M} u \sin \phi - g_{Л}M. M \dot{v}_{x} = - \dot{M} u \cos \phi$.
где $M$ — масса ракеты в момент времени $t, g_{Л}$ - ускорение свободного падения иа поверхности Луны. По условию $v_{z} = 0$, поэтому из первого уравнения имеем
$\dot{M} = - Mg_{Л} / (u \sin \phi) = - M/T$,
где через $T$ обозначена постоянная величина, имеющая размерность времени и равная $T = u \sin \phi/ g_{Л} \approx 235 с$. Отсюда находим
$M = M_{0} e^{ - \frac{t}{T}}$.
Подставляя $\dot{M}$ и $M$ во второе уравнение, имеем
$\dot{v}_{x} = g_{Л} ctg \phi \approx g_{Л}/ \phi. v_{x} = g_{Л} t ctg \phi \approx g_{Л}t / \phi$.
Время $t$, необходимое для достижения 1-й космической скорости $v_{1} = (R_{Л} g_{Л})^{1/2} = 1,7 км/с$. равно
$t = v_{1}/(g_{Л} ctg \phi) \approx v_{1} \phi / \phi_{Л} \approx 100 с$.
где $R_{Л}$ — радиус Луны.
Полученное выражение для $t$ справедливо и при $\phi \rightarrow 0$. Это вытекает из условия $v_{z} = 0$. При $\phi \rightarrow 0$ расход массы бесконечно растет и. следовательно, время разгона до 1-й космической скорости стремится к нулю.
Относительное изменение массы ракеты за счет сожженною горючего
$[M(0) - M(t))/M(0) = 1 - e (- t/T) \approx 0,35$.
Перегрузка космонавтов равна
$g_{эф} = ( g_{Л}^{2} + \dot{v}_{x}^{2} )^{1/2} \approx \dot{v}_{x} \approx g_{Л}/ \phi = 17 м/с$.
