ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-01-29   
Двойная звезда имеет период $T = 3$ года, а расстояние между ее компонентами постоянно и равно $L = 2 а. е$. Выразить массу двойной звезды $M$ через массу Солнца $M_{c}$.


Решение:


Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$ — массы компонент двойной звезды, $l_{1}$ и $l_{2}$ — соответственно расстояния от их центров до центра масс и $v_{1}$ и $v_{2}$ — их скорости. Тогда, предполагая для простоты, что движение происходит по круговым орбитам, для частоты обращения $\omega$ получим

$\omega = v_{1}/ l_{1} = v_{2}/l_{2} = (v_{1} + v_{2})/L$,

где $L = l_{1} + l_{2}, \omega = 2 \pi /T$.

Из рассмотрения сил, действующих на компоненты звезды, вытекает, что

$m_{1} v_{1}^{2}/l_{1} = m_{2}v_{2}^{2}/l_{2} = G m_{1}m_{2} / L^{2}$,
$v_{1}^{2}/l_{1} + v_{2}^{2}/l_{2} = G (m_{1} + m_{2}) / L^{2}$.

Далее легко получить, что $G(m_{1} + m_{2}) = 4 \pi^{2} L^{3} T^{-2}$.

Аналогично для системы Солнце — Земля (масса Земли $M_{з}$ пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца $M_{с}$) получим $GM_{с} = 4 \pi^{2} L_{з}^{2}T_{з}^{-2}$, где $T_{з} = 1 год$, а расстояние от Земли до Солнца равно, по определению, $L_{з} = 1 а. е.$ Таким образом,

$M = m_{1} + m_{2} = M_{с} (T_{з}/T)^{2} (L/L_{з})^{3} = (8/9) M_{с}$.