ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-01-29   
Горизонтальный диск массой $m$ и радиусом $R$ подвешен в атмосфере некоторого газа на упругой нити с модулем кручения $j$ на расстоянии $h (h \ll R)$ от горизонтальной неподвижной поверхности. Найти вязкость $\eta$ газа по результатам измерения логарифмического декремента затухания $\delta$ крутильных колебаний. Движение газа между диском и неподвижной поверхностью считать ламинарным; краевыми эффектами и трением с другой стороны диска пренебречь.


Решение:


Момент упругих сил $M_{y} = - f \phi$, где $\phi$ — угол поворота диска. Момент сил внутреннего трения в газе

$M_{тр} = - \int_{0}^{R} \frac{ \eta v(r) r \cdot 2 \pi r}{ \hbar} dr$,

где $v(r) = \dot{ \phi} r$ — скорость точек диска на расстоянии $r$ от центра. Элементарное интегрирование дает

$M_{тр} = - 2л \phi$, где $k = \pi \eta R^{4} / (4h)$.

Как видно, при возрастании $h$ момент сил трения $M_{тр}$ быстро убывает. Это позволяет в первом приближении не учитывать трение на верхней поверхности диска.

Уравнение движения диска имеет вид

$I \ddot{ \phi} + 2k \dot{ \phi} + f \phi = 0$.

Здесь $I = mR^{2}/2$ — момент инерции диска. Будем искать решение этого уравнения в виде

$\phi = \phi_{0} e^{ - \gamma t} e^{ \pm i \omega t}$.

Тогда получим

$\gamma = k/I, \omega = 2 \pi / T = [(f/I) - \gamma^{2}]^{1/2} \approx (f/I)^{1/2}$,

где $T$ — период колебаний. Логарифмический декремент затухания

$\delta = \gamma T \approx 2 \pi k /(If)^{1/2} = \pi^{2} \eta R^{3}/[ \hbar (2fm)^{1/2}]$;

следовательно,

$\eta = \delta h (2fm)^{1/2}/( \pi^{2} R^{3})$.