Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2217
2017-01-28 
При достаточно большой плотности электронов и дырок в полупроводнике существование экситонов невозможно. Объясните причину этого и оцените значение концентрации носителей, при которой становится невозможным образование экситонов.
Решение:
Образование экситонов с водородоподобным спектром возможно при условии, что боровский радиус экситона $a_{э}$ не превосходит дебаевский радиус экранирования $r_{Д}$ кулоновского взаимодействия между электронами и дырками. В случае невырожденного электронно-дырочного газа, когда
$\frac{ \hbar^{2} n^{2/3}}{m^{*} kT} \ll 1$ (1)
дебаевский радиус экранирования $r_{Д}$ определяется произведением характерной тепловой скорости частиц $\sqrt{kT/m^{*}}$ на период плазменных колебаний, ответственных за экранирование кулоновского взаимодействие $2 \pi \sqrt{ m^{*} 4 ( \pi ne^{2})}$. Получаем:
$r_{Д} \approx \sqrt{ \frac{kT}{m^{*}}} \sqrt{ \frac{m^{*}}{ 4 \pi n e^{2}}} = \sqrt{ \frac{kT}{4 \pi ne^{2}}}$.
Используя для боровского радиуса выражение $a_{э} \approx \hbar^{2} \epsilon / (m^{*} e^{2})$, получаем для критического значения концентрации:
$n \leq \frac{kT(m^{*}e)^{2}}{4 \pi \hbar^{4} e^{2}}$. (2)
При комнатных температурах и характерных значениях $\epsilon \approx 10, m^{*} \approx m_{0}$ условие (2) оказывается более жестким, чем (1), оно дает $n \leq 10^{17} см^{-3}$.
При сильном вырождении электронно-дырочного газа, когда $\hbar^{2}n^{2/3} /(m^{*} kT) \gg 1$, дебаевский радиус экранирования содержит не тепловую, а фермиевскую скорость частиц $p_{F}/m^{*} = \hbar n^{1/3}/m^{*}$. В результате получаем
$r_{Д} \approx \sqrt{ \frac{ \pi \hbar^{2}}{ m^{*} e^{2} n^{1/3}}}$.
Теперь для критического значения концентрации имеем:
$n \leq \left ( \frac{ \pi m^{*} e^{2}}{ \hbar^{2} \epsilon^{2}} \right )^{3}$. (3)
Таким образом, в этом случае появляется оценка для $n$ с двух сторон:
$\left ( \frac{ \sqrt{ m^{*} kT}}{ \hbar} \right )^{3} \leq n \leq \left ( \frac{ \pi m^{*} e^{2}}{ \hbar^{2} \epsilon^{2}} \right )^{3}$.
Максимальная концентрация должна быть меньше $5 \cdot 10^{21} см^{-3}$.
При достаточно большой плотности электронов и дырок в полупроводнике существование экситонов невозможно. Объясните причину этого и оцените значение концентрации носителей, при которой становится невозможным образование экситонов.
Решение:
Образование экситонов с водородоподобным спектром возможно при условии, что боровский радиус экситона $a_{э}$ не превосходит дебаевский радиус экранирования $r_{Д}$ кулоновского взаимодействия между электронами и дырками. В случае невырожденного электронно-дырочного газа, когда
$\frac{ \hbar^{2} n^{2/3}}{m^{*} kT} \ll 1$ (1)
дебаевский радиус экранирования $r_{Д}$ определяется произведением характерной тепловой скорости частиц $\sqrt{kT/m^{*}}$ на период плазменных колебаний, ответственных за экранирование кулоновского взаимодействие $2 \pi \sqrt{ m^{*} 4 ( \pi ne^{2})}$. Получаем:
$r_{Д} \approx \sqrt{ \frac{kT}{m^{*}}} \sqrt{ \frac{m^{*}}{ 4 \pi n e^{2}}} = \sqrt{ \frac{kT}{4 \pi ne^{2}}}$.
Используя для боровского радиуса выражение $a_{э} \approx \hbar^{2} \epsilon / (m^{*} e^{2})$, получаем для критического значения концентрации:
$n \leq \frac{kT(m^{*}e)^{2}}{4 \pi \hbar^{4} e^{2}}$. (2)
При комнатных температурах и характерных значениях $\epsilon \approx 10, m^{*} \approx m_{0}$ условие (2) оказывается более жестким, чем (1), оно дает $n \leq 10^{17} см^{-3}$.
При сильном вырождении электронно-дырочного газа, когда $\hbar^{2}n^{2/3} /(m^{*} kT) \gg 1$, дебаевский радиус экранирования содержит не тепловую, а фермиевскую скорость частиц $p_{F}/m^{*} = \hbar n^{1/3}/m^{*}$. В результате получаем
$r_{Д} \approx \sqrt{ \frac{ \pi \hbar^{2}}{ m^{*} e^{2} n^{1/3}}}$.
Теперь для критического значения концентрации имеем:
$n \leq \left ( \frac{ \pi m^{*} e^{2}}{ \hbar^{2} \epsilon^{2}} \right )^{3}$. (3)
Таким образом, в этом случае появляется оценка для $n$ с двух сторон:
$\left ( \frac{ \sqrt{ m^{*} kT}}{ \hbar} \right )^{3} \leq n \leq \left ( \frac{ \pi m^{*} e^{2}}{ \hbar^{2} \epsilon^{2}} \right )^{3}$.
Максимальная концентрация должна быть меньше $5 \cdot 10^{21} см^{-3}$.
