Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2213
2017-01-28 
Атом, летящий со скоростью $v$, испускает в направлении своего движения фотон с частотой $nu$. Какова будет частота фотона, испускаемого таким же возбужденным атомом в направлении
а) противоположно направлению движения атома ($\nu^{ \prime}$);
б) перпендикулярно направлению движения атома ($ \nu^{ \prime \prime}$)?
Решение:
Будем считать, что атом в лабораторной системе движется со скоростью много меньшей скорости света и для его энергии можно использовать нерелятивистское выражение. Представим энергию возбужденного состояния атома как сумму его кинетической энергии $mv^{2}/2$ и энергию возбуждения $\epsilon$. В этом случае закон сохранения энергии для процесса испускания фотона вдоль направления движения атома запишется в лабораторной системе отсчета следующим образом:
$\frac{mv^{2}}{2} + \epsilon = \frac{m(v - \Delta v)^{2}}{2} + h \nu$, (1)
где $\Delta v$ — уменьшение (положительная величина) скорости атома вследствие явления отдачи.
Использование закона сохранения импульса для рассматриваемого процесса приводит к равенству
$mv = m(v - \Delta v) + \frac{h \nu}{c}$. (2)
Система уравнений (1) и (2) позволяет определить массу атома, знание которой дает возможность определить частоту фотонов, испускаемых в разных направлениях. Однако, технически оказывается более простым не решать эту систему уравнений, а прямо выписать соответствующие системы уравнений закона сохранения энергии и импульса.
В случае а), аналогично (1) и (2) имеем:
$\frac{mv^{2}}{2} + \epsilon = \frac{m(v + \Delta v^{ \prime})^{2}}{2} + h \nu^{ \prime}$, (3)
$mv = m(v + \Delta v^{ \prime}) - \frac{h \nu^{ \prime}}{c}$. (4)
Из (2) и (4) следует, что $\Delta v$ и $\Delta v^{ \prime}$ выражаются через $\nu$ и $\nu^{ \prime}$ аналогичными формулами:
$\Delta v = \frac{v \nu}{mc}, \Delta v^{ \prime} = \frac{h \nu^{ \prime}}{mc}$. (5)
Подставляя первую из формул (5) в уравнение (1), а вторую — в уравнение (3) и учитывая, что импульс фотона $h \nu/c$ много меньше импульса атома ту, приходим к соотношениям:
$h \nu \left ( 1 - \frac{v}{c} \right ) = \epsilon, h \nu^{ \prime} \left ( 1 + \frac{v}{c} \right ) = \epsilon$. (6)
Сравнение формул (6) немедленно приводит к равенству
$\nu^{ \prime} = \frac{c-v}{c+v} \nu$. (7)
При получении формул (6) мы пренебрегли членом $m( \Delta v)^{2}/2$ по сравнению с $mv \Delta v$. Поэтому соотношение (7) справедливо при выполнении условия $v \gg h \nu/ (mc)$.
В случае б) законы сохранения энергии и импульса записываются в виде
$\frac{mv^{2}}{2} + \epsilon = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + h \nu^{ \prime \prime}$, (8)
$(mv)^{2} = m(v_{1})^{2} - \left ( \frac{h \nu^{ \prime \prime}}{c} \right )^{2}$, (9)
где $v_{1}$ — скорость атома после испускания фотона, направленная под некоторым углом к скорости атома до испускания фотона.
С помощью уравнений (8) и (9) находим:
$\epsilon = h \nu^{ \prime \prime} \left ( 1 + \frac{h v^{ \prime \prime}}{2mc^{2}} \right )$. (10)
Второе слагаемое в скобках в формуле (10) пренебрежимо мало по сравнению с единицей, так как представляет собой отношение энергии испущенного фотона $h \nu^{ \prime \prime}$ к энергии покоя атома $mc^{2}$. Сравнивая выражение (10) с первой из формул (6), получаем
$\nu^{ \prime \prime} = \nu \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )$.
Ответ: а) $\nu^{ \prime} = \frac{c- v}{c+v} \nu$; б) $\nu^{ \prime \prime} = \nu \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )$.
Атом, летящий со скоростью $v$, испускает в направлении своего движения фотон с частотой $nu$. Какова будет частота фотона, испускаемого таким же возбужденным атомом в направлении
а) противоположно направлению движения атома ($\nu^{ \prime}$);
б) перпендикулярно направлению движения атома ($ \nu^{ \prime \prime}$)?
Решение:
Будем считать, что атом в лабораторной системе движется со скоростью много меньшей скорости света и для его энергии можно использовать нерелятивистское выражение. Представим энергию возбужденного состояния атома как сумму его кинетической энергии $mv^{2}/2$ и энергию возбуждения $\epsilon$. В этом случае закон сохранения энергии для процесса испускания фотона вдоль направления движения атома запишется в лабораторной системе отсчета следующим образом:
$\frac{mv^{2}}{2} + \epsilon = \frac{m(v - \Delta v)^{2}}{2} + h \nu$, (1)
где $\Delta v$ — уменьшение (положительная величина) скорости атома вследствие явления отдачи.
Использование закона сохранения импульса для рассматриваемого процесса приводит к равенству
$mv = m(v - \Delta v) + \frac{h \nu}{c}$. (2)
Система уравнений (1) и (2) позволяет определить массу атома, знание которой дает возможность определить частоту фотонов, испускаемых в разных направлениях. Однако, технически оказывается более простым не решать эту систему уравнений, а прямо выписать соответствующие системы уравнений закона сохранения энергии и импульса.
В случае а), аналогично (1) и (2) имеем:
$\frac{mv^{2}}{2} + \epsilon = \frac{m(v + \Delta v^{ \prime})^{2}}{2} + h \nu^{ \prime}$, (3)
$mv = m(v + \Delta v^{ \prime}) - \frac{h \nu^{ \prime}}{c}$. (4)
Из (2) и (4) следует, что $\Delta v$ и $\Delta v^{ \prime}$ выражаются через $\nu$ и $\nu^{ \prime}$ аналогичными формулами:
$\Delta v = \frac{v \nu}{mc}, \Delta v^{ \prime} = \frac{h \nu^{ \prime}}{mc}$. (5)
Подставляя первую из формул (5) в уравнение (1), а вторую — в уравнение (3) и учитывая, что импульс фотона $h \nu/c$ много меньше импульса атома ту, приходим к соотношениям:
$h \nu \left ( 1 - \frac{v}{c} \right ) = \epsilon, h \nu^{ \prime} \left ( 1 + \frac{v}{c} \right ) = \epsilon$. (6)
Сравнение формул (6) немедленно приводит к равенству
$\nu^{ \prime} = \frac{c-v}{c+v} \nu$. (7)
При получении формул (6) мы пренебрегли членом $m( \Delta v)^{2}/2$ по сравнению с $mv \Delta v$. Поэтому соотношение (7) справедливо при выполнении условия $v \gg h \nu/ (mc)$.
В случае б) законы сохранения энергии и импульса записываются в виде
$\frac{mv^{2}}{2} + \epsilon = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + h \nu^{ \prime \prime}$, (8)
$(mv)^{2} = m(v_{1})^{2} - \left ( \frac{h \nu^{ \prime \prime}}{c} \right )^{2}$, (9)
где $v_{1}$ — скорость атома после испускания фотона, направленная под некоторым углом к скорости атома до испускания фотона.
С помощью уравнений (8) и (9) находим:
$\epsilon = h \nu^{ \prime \prime} \left ( 1 + \frac{h v^{ \prime \prime}}{2mc^{2}} \right )$. (10)
Второе слагаемое в скобках в формуле (10) пренебрежимо мало по сравнению с единицей, так как представляет собой отношение энергии испущенного фотона $h \nu^{ \prime \prime}$ к энергии покоя атома $mc^{2}$. Сравнивая выражение (10) с первой из формул (6), получаем
$\nu^{ \prime \prime} = \nu \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )$.
Ответ: а) $\nu^{ \prime} = \frac{c- v}{c+v} \nu$; б) $\nu^{ \prime \prime} = \nu \left ( 1 - \frac{v}{c} \right )$.
