2014-05-31
Две частицы с одинаковой массой имеют заряды $q_{1} = e$ и $q_{2} = - 2e$. Частицы находятся в однородном постоянном внешнем электрическом поле с напряженностью $\bar{E}$. Определите взаимное расположение этих частиц, если их ускорения одинаковы.
Решение:
Взаимное положение частиц определяется неизвестным вектором $\bar{R}$, соединяющим центры зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$.
Чтобы частицы с одинаковой массой получали одинаковые по величине и направлению ускорения, необходимо, чтобы на них действовали одинаковые по величине и направлению результирующие силы.
Рассмотрим силы взаимодействия частиц друг с другом и с внешним полем. На частицы с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ со стороны внешнего поля действуют силы $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$, величины и направления которых определяются по формулам
$\bar{F_{1}}=q_{1} \bar{E}, \bar{F_{2}}=q_{2} \bar{E}$.
Для сил взаимодействия $\bar{F_{1}^{\prime}}$ и $\bar{F_{2}^{\prime}}$ зарядов получаем из закона Кулона:
$\bar{F_{2}^{\prime}} = - \bar{F_{1}^{\prime}} = \frac{q_{1}q_{2}}{R^{2}} \frac{\bar{R}}{R}$.
Результирующие сил, действующих на каждое из тел, есть
$\bar{F^{\prime}_{1}} + \bar{F_{1}} = q_{1} \bar{E} - \frac{q_{1}q_{2}}{R^{2}} \frac{\bar{R}}{R}$, (1)
$\bar{F^{\prime}_{2}} + \bar{F_{2}} = q_{2} \bar{E} - \frac{q_{1}q_{2}}{R^{2}} \frac{\bar{R}}{R}$. (2)
Ускорения зарядов одинаковы по величине, если равны действующие на них силы. В нашем случае правые части уравнений (1) и (2) должны быть равны друг другу:
$q_{1} \bar{E} - \frac{q_{1}q_{2}}{R^{2}} \frac{\bar{R}}{R} = q_{2} \bar{E} + \frac{q_{1}q_{2}}{R^{2}} \frac{\bar{R}}{R}$
или
$\frac{\bar{R}}{R^{3}}q_{1}q_{2} = (q_{1}-q_{2}) \bar{E}$. (3)
Из равенства (3) находим длину и направление искомого in*
тора $\bar{R}$:
$R=\sqrt{\frac{|q_{1}q_{2}|}{|q_{1}-q_{2}|E}}$, (4)
$\frac{\bar{R}}{R} = \frac{\bar{E}}{E} \frac{q_{1}-q_{2}}{|q_{1}-q_{2}|} \frac{q_{1}q_{2}}{|q_{1}q_{2}|}$. (5)
В нашем случае по условию задачи $q_{1}=e$ и $q_{2}=-2e$. Подставляя эти значения в формулы (4) и (5), получаем окончательный ответ
$R= \sqrt{\frac{2}{3}E}, \frac{\bar{R}}{R}= - \frac{\bar{E}}{E}$.