Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2209
2017-01-28 
Один моль идеального одноатомного газа совершает цикл, показанный на рисунке. Определить КПД цикла $\eta$.
Решение:
Система получает теплоту в процессе 1-2
$Q_{1} = C_{V}(T - T_{0})$ (1)
и на части прямой 2-3, уравнение которой есть
$p = p_{0} \left ( 3 - \frac{V}{V_{0}} \right )$. (2)
Найдем количество теплоты, получаемое газом на этом участке. Для этого вычислим теплоемкость
$C = C_{V} + p \frac{dV}{dT}$. (3)
С помощью равенства
$pdV + V dp = RdT$
и соотношения (2) находим
$\frac{dV}{dT} = \frac{R}{p - \frac{p_{0}}{V_{0}} V}$
и выражение (3) принимает вид:
$C = R \left ( \frac{3}{2} + \frac{3 - V/V_{0}}{3 - 2V /V_{0}} \right )$. (4)
На участке 2-3 температура растет от значения $T$ до некоторого значения $T_{1}$, а затем начинает убывать. С помощью уравнения Клапейрона находим:
$T = 2T_{0}, T_{1} = \frac{9}{8}T = \frac{9}{4} T_{0}$.
На участке от $T$ до $T_{1} \delta Q > О$, так как $\delta A > О$ и $dU > 0$. В точке $T_{1}$ теплоемкость обращается в бесконечность (здесь наклонный участок является касательной к изотерме $T_{1} = const$), а затем становится отрицательной. Однако и после достижения температуры $T_{1}$ величина $\delta Q$ остается положительной, поскольку температура теперь убывает. Так продолжается до точки ($V_{*},p_{*},T_{*}$), где теплоемкость обращается в нуль:
$V_{*} = \frac{15}{8}V_{0}, p_{*} = \frac{9}{8} p_{0}, T_{*} = \frac{15}{16} T_{0}$. (5)
Далее теплоемкость становится положительной, a $\delta Q$ — отрицательной, так как $dT < 0$. Итак, на участке 2-3 цикла система получает тепло при изменении объема от $V_{0}$ до $V{*} = (15/8)V_{0}$. Изменение внутренней энергии на этом участке есть
$\Delta U = \frac{3}{2}( p_{*}V_{*} - 2p_{0}V_{0}) = \frac{21}{128} p_{0}V_{0} = \frac{21}{128} RT_{0}$. (6)
Совершаемая при этом работа газа есть
$A = \frac{1}{2} (2p_{0} + p_{*})(V_{*} - V_{0}) = \frac{175}{128} p_{0}V_{0} = \frac{175}{128} RT_{0}$. (7)
Таким образом, на участке 2-3 система получает тепло
$Q = \Delta U + A= \frac{49}{32} p_{0}V_{0} = \frac{49}{32} RT_{0}$. (8)
Количество тепла, получаемое системой за весь цикл
$Q^{ \prime} = Q + Q_{1} = \frac{97}{32} RT_{0}$.
Совершаемая за цикл работа равна
$A^{ \prime} = \frac{1}{2} p_{0}V_{0} = \frac{1}{2} RT_{0}$. (9)
Для КПД получаем:
$\eta = \frac{A^{ \prime}}{Q^{ \prime}} \cdot 100% \approx 16,5%$. (10)
Если приближенно считать, что система получает теплоту на всем наклонном участке 2-3, то для КПД получается значение $\eta \approx 16,7%$, поскольку в этом случае
$Q^{ \prime} = Q_{1} + \frac{1}{2} (2p_{0} + p_{0})V_{0} = 3RT_{0}$.
Ответ: $\eta « 16,5%$.
Один моль идеального одноатомного газа совершает цикл, показанный на рисунке. Определить КПД цикла $\eta$.
Решение:
Система получает теплоту в процессе 1-2
$Q_{1} = C_{V}(T - T_{0})$ (1)
и на части прямой 2-3, уравнение которой есть
$p = p_{0} \left ( 3 - \frac{V}{V_{0}} \right )$. (2)
Найдем количество теплоты, получаемое газом на этом участке. Для этого вычислим теплоемкость
$C = C_{V} + p \frac{dV}{dT}$. (3)
С помощью равенства
$pdV + V dp = RdT$
и соотношения (2) находим
$\frac{dV}{dT} = \frac{R}{p - \frac{p_{0}}{V_{0}} V}$
и выражение (3) принимает вид:
$C = R \left ( \frac{3}{2} + \frac{3 - V/V_{0}}{3 - 2V /V_{0}} \right )$. (4)
На участке 2-3 температура растет от значения $T$ до некоторого значения $T_{1}$, а затем начинает убывать. С помощью уравнения Клапейрона находим:
$T = 2T_{0}, T_{1} = \frac{9}{8}T = \frac{9}{4} T_{0}$.
На участке от $T$ до $T_{1} \delta Q > О$, так как $\delta A > О$ и $dU > 0$. В точке $T_{1}$ теплоемкость обращается в бесконечность (здесь наклонный участок является касательной к изотерме $T_{1} = const$), а затем становится отрицательной. Однако и после достижения температуры $T_{1}$ величина $\delta Q$ остается положительной, поскольку температура теперь убывает. Так продолжается до точки ($V_{*},p_{*},T_{*}$), где теплоемкость обращается в нуль:
$V_{*} = \frac{15}{8}V_{0}, p_{*} = \frac{9}{8} p_{0}, T_{*} = \frac{15}{16} T_{0}$. (5)
Далее теплоемкость становится положительной, a $\delta Q$ — отрицательной, так как $dT < 0$. Итак, на участке 2-3 цикла система получает тепло при изменении объема от $V_{0}$ до $V{*} = (15/8)V_{0}$. Изменение внутренней энергии на этом участке есть
$\Delta U = \frac{3}{2}( p_{*}V_{*} - 2p_{0}V_{0}) = \frac{21}{128} p_{0}V_{0} = \frac{21}{128} RT_{0}$. (6)
Совершаемая при этом работа газа есть
$A = \frac{1}{2} (2p_{0} + p_{*})(V_{*} - V_{0}) = \frac{175}{128} p_{0}V_{0} = \frac{175}{128} RT_{0}$. (7)
Таким образом, на участке 2-3 система получает тепло
$Q = \Delta U + A= \frac{49}{32} p_{0}V_{0} = \frac{49}{32} RT_{0}$. (8)
Количество тепла, получаемое системой за весь цикл
$Q^{ \prime} = Q + Q_{1} = \frac{97}{32} RT_{0}$.
Совершаемая за цикл работа равна
$A^{ \prime} = \frac{1}{2} p_{0}V_{0} = \frac{1}{2} RT_{0}$. (9)
Для КПД получаем:
$\eta = \frac{A^{ \prime}}{Q^{ \prime}} \cdot 100% \approx 16,5%$. (10)
Если приближенно считать, что система получает теплоту на всем наклонном участке 2-3, то для КПД получается значение $\eta \approx 16,7%$, поскольку в этом случае
$Q^{ \prime} = Q_{1} + \frac{1}{2} (2p_{0} + p_{0})V_{0} = 3RT_{0}$.
Ответ: $\eta « 16,5%$.
