Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2208
2017-01-28 
Одноатомный идеальный газ содержится в цилиндрическом сосуде длины $l$ под тонким поршнем с пружиной, коэффициент жесткости $k$ которой равен к (см. рис.). Атмосферное давление таково, что положение равновесия поршня в отсутствие газа под ним находится у дна сосуда. Известно также, что при нахождении поршня у края сосуда пружина свободна. Какое количество тепла $Q$ должен получить газ, чтобы поршень достиг краев цилиндра? Первоначальный объем, занимаемый газом, составляет $n$-ю часть объема всего цилиндра. Трением поршня о стенки пренебречь.
Решение:
Вычислим сначала молярную теплоемкость газа под поршнем:
$C = C_{V} + p \frac{dV}{dT}$.
Для этого воспользуемся общим соотношением
$pdV + Vdp = RdT$ (1)
и свяжем давления газа $p$ с расстоянием $x$ от поршня до края сосуда, а через него с объемом газа $V$:
$p = p_{0} - \frac{kx}{S} = \frac{k(l-x)}{S} = \frac{kV}{S^{2}}$. (2)
Здесь $p_{0}$ — атмосферное давление, $S$ — площадь поршня. Из (2) получаем:
$dp = \frac{k}{S^{2}} dV$. (3)
Теперь с помощью (1)-(3) имеем
$C = C_{V} + R/2$.
Для того, чтобы определить количество тепла, которое необходимо подвести к системе, чтобы поршень достиг краев цилиндра, осталось определить, на сколько следует нагреть газ под поршнем. Сделаем это с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона. Пусть начальное состояние характеризуется температурой $T_{1}$, давлением $p_{1}$ и объемом $V_{1} = Sl/n$, а конечное — температурой $T_{2}$, давлением $p_{2} = p_{0}$ и объемом $V_{2} = Sl$. Тогда при использовании соотношений (2) получаем:
$\frac{kl^{2}}{n^{2}} = \nu RT_{1}, kl^{2} = \nu RT_{2}$.
Изменение температуры газа
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = \frac{kl^{2}}{ \nu R} \left ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right )$.
Таким образом, для $Q$ получаем:
$Q = \nu C \Delta T = 2kl^{2} \left ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right )$.
Здесь использовано, что для одноатомного идеального газа $C_{V} = (3/2)R$.
Ответ: $Q = 2kl^{2}(1 - 1/n^{2})$.
Одноатомный идеальный газ содержится в цилиндрическом сосуде длины $l$ под тонким поршнем с пружиной, коэффициент жесткости $k$ которой равен к (см. рис.). Атмосферное давление таково, что положение равновесия поршня в отсутствие газа под ним находится у дна сосуда. Известно также, что при нахождении поршня у края сосуда пружина свободна. Какое количество тепла $Q$ должен получить газ, чтобы поршень достиг краев цилиндра? Первоначальный объем, занимаемый газом, составляет $n$-ю часть объема всего цилиндра. Трением поршня о стенки пренебречь.
Решение:
Вычислим сначала молярную теплоемкость газа под поршнем:
$C = C_{V} + p \frac{dV}{dT}$.
Для этого воспользуемся общим соотношением
$pdV + Vdp = RdT$ (1)
и свяжем давления газа $p$ с расстоянием $x$ от поршня до края сосуда, а через него с объемом газа $V$:
$p = p_{0} - \frac{kx}{S} = \frac{k(l-x)}{S} = \frac{kV}{S^{2}}$. (2)
Здесь $p_{0}$ — атмосферное давление, $S$ — площадь поршня. Из (2) получаем:
$dp = \frac{k}{S^{2}} dV$. (3)
Теперь с помощью (1)-(3) имеем
$C = C_{V} + R/2$.
Для того, чтобы определить количество тепла, которое необходимо подвести к системе, чтобы поршень достиг краев цилиндра, осталось определить, на сколько следует нагреть газ под поршнем. Сделаем это с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона. Пусть начальное состояние характеризуется температурой $T_{1}$, давлением $p_{1}$ и объемом $V_{1} = Sl/n$, а конечное — температурой $T_{2}$, давлением $p_{2} = p_{0}$ и объемом $V_{2} = Sl$. Тогда при использовании соотношений (2) получаем:
$\frac{kl^{2}}{n^{2}} = \nu RT_{1}, kl^{2} = \nu RT_{2}$.
Изменение температуры газа
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = \frac{kl^{2}}{ \nu R} \left ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right )$.
Таким образом, для $Q$ получаем:
$Q = \nu C \Delta T = 2kl^{2} \left ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right )$.
Здесь использовано, что для одноатомного идеального газа $C_{V} = (3/2)R$.
Ответ: $Q = 2kl^{2}(1 - 1/n^{2})$.
