Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2205
2017-01-28 
Показанный на рисунке цикл, совершаемый одним молем идеального газа, состоит из изобары, адиабаты и изотермы. Каков КПД этого цикла $\eta$, если отношение максимальной температуры рабочего вещества в этом цикле к минимальной температуре равно $n$.
Решение:
Наивысшая температура в цикле — температура $T_{2}$ в состоянии 2. Минимальная температура $T_{1} = T_{3}$ реализуется на изотерме, т. е. $T_{2}/T_{1} = n$.
Рассчитаем количество теплоты, сообщенное системе на каждом участке цикла:
$Q_{23} = 0$,
$Q_{31} = RT_{1} ln \frac{V_{1}}{V_{3}} = - kT_{1} ln \frac{V_{3}}{V_{1}}$,
$Q_{12} = C_{p} (T_{2} - T_{1})$.
Отрицательное $Q$ означает, что система отдает соответствующее количество теплоты.
Для КПД $\eta$ имеем:
$\eta = \frac{Q_{31} + Q_{12}}{Q_{12}} = 1 - \frac{RT_{1} ln(V_{3}/V_{1})_{2}}{C_{p}(T_{2} - T_{1})}$.
Учитывая, что
$\frac{R}{C_{p}} = \frac{C_{p} - C_{V}}{C_{p}} = 1 - \frac{1}{ \gamma} = \frac{ \gamma - 1}{ \gamma}$ и $\frac{T_{1}}{T_{2} - T_{1}} = \frac{1}{n-1}$,
запишем $\eta$ в виде:
$\eta = 1 - \frac{ \gamma - 1}{ \gamma ( n - 1)} ln \frac{V_{3}}{V_{1}}$.
Выразим отношение объемов $V_{3}/V_{1}$ через $n$. Для этого заметим, что $V_{1} = V_{2}(T_{1}/T_{2}) = V_{2}/n$ и, воспользовавшись уравнением адиабаты $T_{2} V_{2}^{ \gamma - 1} = T_{1} V_{3}^{ \gamma - 1}$, найдем
$\frac{V_{3}}{V_{2}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{ 1 / ( \gamma -1)} = n^{1/ ( \gamma - 1)}$.
Теперь получаем
$ln \frac{V_{3}}{V_{1}} = ln \frac{V_{3} n }{V_{2}} = ln n + ln n^{ 1 / ( \gamma - 1)} = \frac{ \gamma}{ \gamma - 1} ln n$.
Окончательно, выражение для $\eta$ принимает вид:
$\eta = 1 - \frac{ \gamma - 1}{ \gamma} \cdot \frac{1}{n-1} =\cdot \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} ln n = 1 - \frac{ ln n}{ n - 1}$.
Ответ: $\eta = 1 - \frac{ln n}{n-1}$.
Показанный на рисунке цикл, совершаемый одним молем идеального газа, состоит из изобары, адиабаты и изотермы. Каков КПД этого цикла $\eta$, если отношение максимальной температуры рабочего вещества в этом цикле к минимальной температуре равно $n$.
Решение:
Наивысшая температура в цикле — температура $T_{2}$ в состоянии 2. Минимальная температура $T_{1} = T_{3}$ реализуется на изотерме, т. е. $T_{2}/T_{1} = n$.
Рассчитаем количество теплоты, сообщенное системе на каждом участке цикла:
$Q_{23} = 0$,
$Q_{31} = RT_{1} ln \frac{V_{1}}{V_{3}} = - kT_{1} ln \frac{V_{3}}{V_{1}}$,
$Q_{12} = C_{p} (T_{2} - T_{1})$.
Отрицательное $Q$ означает, что система отдает соответствующее количество теплоты.
Для КПД $\eta$ имеем:
$\eta = \frac{Q_{31} + Q_{12}}{Q_{12}} = 1 - \frac{RT_{1} ln(V_{3}/V_{1})_{2}}{C_{p}(T_{2} - T_{1})}$.
Учитывая, что
$\frac{R}{C_{p}} = \frac{C_{p} - C_{V}}{C_{p}} = 1 - \frac{1}{ \gamma} = \frac{ \gamma - 1}{ \gamma}$ и $\frac{T_{1}}{T_{2} - T_{1}} = \frac{1}{n-1}$,
запишем $\eta$ в виде:
$\eta = 1 - \frac{ \gamma - 1}{ \gamma ( n - 1)} ln \frac{V_{3}}{V_{1}}$.
Выразим отношение объемов $V_{3}/V_{1}$ через $n$. Для этого заметим, что $V_{1} = V_{2}(T_{1}/T_{2}) = V_{2}/n$ и, воспользовавшись уравнением адиабаты $T_{2} V_{2}^{ \gamma - 1} = T_{1} V_{3}^{ \gamma - 1}$, найдем
$\frac{V_{3}}{V_{2}} = \left ( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right )^{ 1 / ( \gamma -1)} = n^{1/ ( \gamma - 1)}$.
Теперь получаем
$ln \frac{V_{3}}{V_{1}} = ln \frac{V_{3} n }{V_{2}} = ln n + ln n^{ 1 / ( \gamma - 1)} = \frac{ \gamma}{ \gamma - 1} ln n$.
Окончательно, выражение для $\eta$ принимает вид:
$\eta = 1 - \frac{ \gamma - 1}{ \gamma} \cdot \frac{1}{n-1} =\cdot \frac{ \gamma }{ \gamma - 1} ln n = 1 - \frac{ ln n}{ n - 1}$.
Ответ: $\eta = 1 - \frac{ln n}{n-1}$.
