ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-01-28   
Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества совершает цикл, состоящий из изобары, адиабаты и изотермы (см. рис.). Найти КПД цикла как функцию максимальной ($T_{1}$) и минимальной ($T_{2}$) температур в цикле.



Решение:


На участке 1-2 система отдает тепло $Q_{12} = C_{p}(T_{2} - T_{1}) < 0$. На участке 2-5 $Q_{23} = 0$. Тепло подводится к системе на участке 3-1 $Q_{31} = RT_{1} ln(V_{1}/V_{3})$.

Выразим отношение объемов $V_{1}/V_{3}$ через отношение температур $T_{1}/T_{2}$. Для этого воспользуемся уравнением адиабаты $T_{2}V_{2}^{ \gamma - 1} = T_{1} V_{3}^{ \gamma - 1}$ и изобары $V_{1}/V_{2} = T_{1}/T_{2}$. Получаем:

$\frac{V_{1}}{V_{3}} = \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} \right )^{ \gamma / ( \gamma - 1)} = \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} \right )^{ C_{p}/R}$.

Преобразуя

$Q_{31} = RT_{1} ln \frac{V_{1}}{V_{3}} = RT_{1} ln \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} \right )^{ C_{p}/R} = C_{p}T_{1} ln \frac{T_{1}}{T_{2}}$,

находим КПД цикла

$\eta = \frac{Q_{31} + Q_{12}}{Q_{31}} = 1 - \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1} ln (T_{1}/T_{2})}$.

Ответ: $\eta = 1 - \frac{T_{1} - T_{2}}{ T_{1} ln (T_{1} / T_{2})}$.