Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2203
2017-01-28 
В теплоизолированном цилиндре под поршнем находится $m = 40 г$ газообразного гелия. В начальном состоянии газ занимает объем $V_{1} = 32 \cdot 10^{-3} м^{3}$ и находится под давлением $p_{1} = 0,4 МПа$, а в конечном состоянии $V_{2} = 9 \cdot 10^{ -3} м^{3}$ и $p_{2} = 1,55 МПа$. В процессе медленного перехода из начального состояния в конечное давление и объем газа связаны линейной зависимостью. Найдите наибольшую температуру $T_{m}$ газа во время процесса, а также объем $V_{m}$ и давление $p_{m}$, соответствующие максимальной температуре.
Решение:
По условию газ в любой момент можно считать находящимся в состоянии равновесия, поэтому в любой точке перехода справедливо
$pV = \frac{m}{M_{He}} RT$.
Давление и объем газа при переходе связаны линейной зависимостью, поэтому $p = p_{0} - \alpha V$, где $p_{0}$ и $\alpha$ — положительные постоянные, определяемые из системы уравнений:
$p_{1} = p_{0} - \alpha V_{1}$;
$p_{2} = p_{0} - \alpha V_{2}$,
что дает
$p_{0} = \frac{p_{2}V_{1} p_{1} V_{2}}{V_{1} - V_{2}}$;
$\alpha = \frac{p_{2} - p_{1}}{V_{1} - V_{2}}$.
Для температуры $T$ получаем выражение
$T = \frac{M_{He}}{mR} \left ( p_{0}V - \alpha V^{2} \right )$,
из которого следует, что максимальная температура $T_{m}$ равна
$T_{m} = \frac{M_{He} p_{0}^{2}}{4 \alpha mR}$
и достигается при объеме $V_{m} = p_{0}/2 \alpha$ и давлении $p_{m} = p_{0}/2$.
Подставляя сюда значения $p_{0}$ и $\alpha$, приходим к равенствам:
$T_{m} = \frac{M_{He} (p_{2} V_{1} - p_{1} V_{2})^{2}}{ 4mR (V_{1} - V_{2}) (p_{2} - p_{1})} \approx 241^{ \circ} К$
$V_{m} = \frac{1}{2} \frac{p_{2}V_{1} - p_{1}V_{2}}{p_{2} - p_{1}} = 2 \cdot 10^{-2} м^{3}$,
$p_{m} = \frac{1}{2} \frac{p_{2}V_{1} - p_{1}V_{2}}{V_{1} - V_{2}} = 1 МПа$.
Ответ: $T_{m} \approx 241^{ \circ} К; V_{m} = 2 \cdot 10^{-2} м^{3}; p_{m} = 1000 кПа$.
В теплоизолированном цилиндре под поршнем находится $m = 40 г$ газообразного гелия. В начальном состоянии газ занимает объем $V_{1} = 32 \cdot 10^{-3} м^{3}$ и находится под давлением $p_{1} = 0,4 МПа$, а в конечном состоянии $V_{2} = 9 \cdot 10^{ -3} м^{3}$ и $p_{2} = 1,55 МПа$. В процессе медленного перехода из начального состояния в конечное давление и объем газа связаны линейной зависимостью. Найдите наибольшую температуру $T_{m}$ газа во время процесса, а также объем $V_{m}$ и давление $p_{m}$, соответствующие максимальной температуре.
Решение:
По условию газ в любой момент можно считать находящимся в состоянии равновесия, поэтому в любой точке перехода справедливо
$pV = \frac{m}{M_{He}} RT$.
Давление и объем газа при переходе связаны линейной зависимостью, поэтому $p = p_{0} - \alpha V$, где $p_{0}$ и $\alpha$ — положительные постоянные, определяемые из системы уравнений:
$p_{1} = p_{0} - \alpha V_{1}$;
$p_{2} = p_{0} - \alpha V_{2}$,
что дает
$p_{0} = \frac{p_{2}V_{1} p_{1} V_{2}}{V_{1} - V_{2}}$;
$\alpha = \frac{p_{2} - p_{1}}{V_{1} - V_{2}}$.
Для температуры $T$ получаем выражение
$T = \frac{M_{He}}{mR} \left ( p_{0}V - \alpha V^{2} \right )$,
из которого следует, что максимальная температура $T_{m}$ равна
$T_{m} = \frac{M_{He} p_{0}^{2}}{4 \alpha mR}$
и достигается при объеме $V_{m} = p_{0}/2 \alpha$ и давлении $p_{m} = p_{0}/2$.
Подставляя сюда значения $p_{0}$ и $\alpha$, приходим к равенствам:
$T_{m} = \frac{M_{He} (p_{2} V_{1} - p_{1} V_{2})^{2}}{ 4mR (V_{1} - V_{2}) (p_{2} - p_{1})} \approx 241^{ \circ} К$
$V_{m} = \frac{1}{2} \frac{p_{2}V_{1} - p_{1}V_{2}}{p_{2} - p_{1}} = 2 \cdot 10^{-2} м^{3}$,
$p_{m} = \frac{1}{2} \frac{p_{2}V_{1} - p_{1}V_{2}}{V_{1} - V_{2}} = 1 МПа$.
Ответ: $T_{m} \approx 241^{ \circ} К; V_{m} = 2 \cdot 10^{-2} м^{3}; p_{m} = 1000 кПа$.
