Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2202
2017-01-28 
В вертикально расположенном сосуде над и под поршнем находится одинаковое число молей идеального газа (см. рис.). Поршень может перемещаться без трения. При начальной температуре отношение объемов $V_{a}^{A}/V_{1}^{B} = n$. Каким будет это отношение $x$, если температуру $T_{1}$ увеличить в $k$ раз?
Решение:
$V_{1}^{A} + V_{1}^{B} = V_{2}^{A} + V_{2}^{B}$, (1)
$p_{1}^{B} - p_{1}^{A} = p_{2}^{B} - p_{2}^{A}$. (2)
Первое равенство соответствует постоянству суммы объемов газов в начальном и конечном состоянии. Второе равенство соответствует тому, что и в начальном, и в конечном состояниях сила тяжести поршня уравновешивается силами давления газов.
Имеем
$p_{1}^{A} V_{1}^{A} = \nu RT_{1} = p_{1}^{B} V_{1}^{B}$, откуда $\frac{V_{1}^{A}}{V_{1}^{B}} = \frac{p_{1}^{B}}{p_{1}^{A}} = n$, (3)
$p_{2}^{A} V_{2}^{A} = \nu RT_{2} = p_{2}^{B} V_{2}^{B}$, откуда $\frac{V_{2}^{A}}{V_{2}^{B}} = \frac{p_{2}^{B}}{p_{2}^{A}} = n$. (4)
С учетом (3) и (4) уравнения (1) и (2) перепишем в виде:
$V_{1}^{A} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = V_{2}^{A} \left ( 1 + \frac{1}{x} \right )$,
$p_{1}^{A} (n-1) = p_{2}^{A} (x-1)$.
Перемножая получившиеся равенства, получим
$p_{1}^{A} V_{1}^{A} \frac{n^{2} - 1}{n} = p_{2}^{A} V_{2}^{A} \frac{x^{2} - 1}{x}$,
или
$\frac{x^{2}-1}{x} = \frac{n^{2} - 1}{n} \frac{T_{1}}{T_{2}}, \frac{x^{2}-1}{x} = \frac{n^{2} - 1}{n} \frac{1}{k}$.
Решая квадратное уравнение, находим
$x = \frac{n^{2} - 1}{2nk} + \sqrt{ \left ( \frac{n^{2} - 1}{2nk} \right )^{2} + 1}$
Второй корень физического смысла не имеет.
Ответ: $x = \frac{n^{2} - 1}{2nk} + \sqrt{ \left ( \frac{n^{2} - 1}{2nk} \right )^{2} + 1}$.
В вертикально расположенном сосуде над и под поршнем находится одинаковое число молей идеального газа (см. рис.). Поршень может перемещаться без трения. При начальной температуре отношение объемов $V_{a}^{A}/V_{1}^{B} = n$. Каким будет это отношение $x$, если температуру $T_{1}$ увеличить в $k$ раз?
Решение:
$V_{1}^{A} + V_{1}^{B} = V_{2}^{A} + V_{2}^{B}$, (1)
$p_{1}^{B} - p_{1}^{A} = p_{2}^{B} - p_{2}^{A}$. (2)
Первое равенство соответствует постоянству суммы объемов газов в начальном и конечном состоянии. Второе равенство соответствует тому, что и в начальном, и в конечном состояниях сила тяжести поршня уравновешивается силами давления газов.
Имеем
$p_{1}^{A} V_{1}^{A} = \nu RT_{1} = p_{1}^{B} V_{1}^{B}$, откуда $\frac{V_{1}^{A}}{V_{1}^{B}} = \frac{p_{1}^{B}}{p_{1}^{A}} = n$, (3)
$p_{2}^{A} V_{2}^{A} = \nu RT_{2} = p_{2}^{B} V_{2}^{B}$, откуда $\frac{V_{2}^{A}}{V_{2}^{B}} = \frac{p_{2}^{B}}{p_{2}^{A}} = n$. (4)
С учетом (3) и (4) уравнения (1) и (2) перепишем в виде:
$V_{1}^{A} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = V_{2}^{A} \left ( 1 + \frac{1}{x} \right )$,
$p_{1}^{A} (n-1) = p_{2}^{A} (x-1)$.
Перемножая получившиеся равенства, получим
$p_{1}^{A} V_{1}^{A} \frac{n^{2} - 1}{n} = p_{2}^{A} V_{2}^{A} \frac{x^{2} - 1}{x}$,
или
$\frac{x^{2}-1}{x} = \frac{n^{2} - 1}{n} \frac{T_{1}}{T_{2}}, \frac{x^{2}-1}{x} = \frac{n^{2} - 1}{n} \frac{1}{k}$.
Решая квадратное уравнение, находим
$x = \frac{n^{2} - 1}{2nk} + \sqrt{ \left ( \frac{n^{2} - 1}{2nk} \right )^{2} + 1}$
Второй корень физического смысла не имеет.
Ответ: $x = \frac{n^{2} - 1}{2nk} + \sqrt{ \left ( \frac{n^{2} - 1}{2nk} \right )^{2} + 1}$.
