Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2198
2017-01-28 
С помощью соотношения неопределенностей оцените энергию основного состояния двухэлектронного атома, заряд ядра которого равен $Ze$.
Решение:
Если размеры областей локализации электронов равны $r_{1}$ и $r_{2}$, то
$p_{1} \sim \frac{ \hbar}{r_{1}}, p_{2} \sim \frac{ \hbar}{r_{2}}$.
Кинетическая энергия $E_{K}$ оказывается порядка
$E_{K} \approx \frac{ \hbar^{2}}{2m} \left ( \frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} \right )$.
Потенциальная энергия $E_{п}$ взаимодействия электронов с ядром
$E_{п} \approx - Ze^{2} \left ( \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} \right )$,
а потенциальная энергия взаимодействия электронов между собой может быть оценена выражением:
$E_{п}^{ \prime} \approx \frac{e^{2}}{r_{1} + r_{2}}$.
Для оценки энергии основного состояния атома нужно найти минимум выражения для полной энергии
$E = E_{K} + E_{п} + E_{п}^{ \prime}$.
Этот минимум достигается при
$r_{1} = r_{2} = \frac{ \hbar^{2}}{me^{2}} \frac{1}{Z - 1/4}$,
а энергия основного состояния
$E_{min} \approx - \left ( Z - \frac{1}{4} \right )^{2} \frac{me^{2}}{ \hbar^{2}} = - 2 \left ( Z - \frac{1}{4} \right )^{2} R$,
где $R = me^{2}/(2 \hbar^{2}) = 13,5 эВ.$
Указанная грубая оценка обнаруживает хорошее согласие с экспериментом. Например, для иона $Li^{+}$, у которого на внешней электронной орбите находятся два электрона, вычисленное значение составляет —15,12 эВ, а эксперимент дает -14,56 эВ.
С помощью соотношения неопределенностей оцените энергию основного состояния двухэлектронного атома, заряд ядра которого равен $Ze$.
Решение:
Если размеры областей локализации электронов равны $r_{1}$ и $r_{2}$, то
$p_{1} \sim \frac{ \hbar}{r_{1}}, p_{2} \sim \frac{ \hbar}{r_{2}}$.
Кинетическая энергия $E_{K}$ оказывается порядка
$E_{K} \approx \frac{ \hbar^{2}}{2m} \left ( \frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} \right )$.
Потенциальная энергия $E_{п}$ взаимодействия электронов с ядром
$E_{п} \approx - Ze^{2} \left ( \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} \right )$,
а потенциальная энергия взаимодействия электронов между собой может быть оценена выражением:
$E_{п}^{ \prime} \approx \frac{e^{2}}{r_{1} + r_{2}}$.
Для оценки энергии основного состояния атома нужно найти минимум выражения для полной энергии
$E = E_{K} + E_{п} + E_{п}^{ \prime}$.
Этот минимум достигается при
$r_{1} = r_{2} = \frac{ \hbar^{2}}{me^{2}} \frac{1}{Z - 1/4}$,
а энергия основного состояния
$E_{min} \approx - \left ( Z - \frac{1}{4} \right )^{2} \frac{me^{2}}{ \hbar^{2}} = - 2 \left ( Z - \frac{1}{4} \right )^{2} R$,
где $R = me^{2}/(2 \hbar^{2}) = 13,5 эВ.$
Указанная грубая оценка обнаруживает хорошее согласие с экспериментом. Например, для иона $Li^{+}$, у которого на внешней электронной орбите находятся два электрона, вычисленное значение составляет —15,12 эВ, а эксперимент дает -14,56 эВ.
