Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2197
2017-01-28 
Два точечных заряда $q$ и $Q$ расположены на расстоянии $r$ друг от друга и неподвижны относительно системы отсчета $XYZ$. Между этими зарядами действует кулоновская сила, модуль которой $F_{y} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}$.
а) Какие силы $F_{y^{ \prime}}$ будут действовать между этими зарядами в систем $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$, которая движется вдоль оси $X$ налево со скоростью $v$ (см. рис.)?
б) Какова будет напряженность электрического и индукция магнитного полей, создаваемых зарядами в системе $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$?
Решение:
рис.1
рис.2
а) В системе $X^{ \prime}Y^[ \prime]Z^{ \prime}$ заряды будут двигаться со скоростью $v$ вправо (рис.1). Модуль силы взаимодействия между движущимися зарядами $F{y^{ \prime}}$ в этой системе отсчета меньше, чем в системе $XYZ$ где заряды покоятся. Действительно, в релятивистской механике, как и в классической, $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$. Поперечная составляющая импульса $p_{y}$ и ее изменение $\Delta p_{y}$, как легко проверить, не меняется при переходе к системе отсчета, равномерно движущейся относительно исходной вдоль оси $X$. Промежуток времени $\Delta t^{ \prime} = \frac{ \Delta t}{ \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}}$. Поэтому для поперечной составляющей силы $F^{ \prime}$ имеем
$F_{y}^{ \prime} = F_{y} \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}$.
б) Умножив числитель и знаменатель выражения для $F_{y^{ \prime}}$ на $\sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}$, получаем:
$F_{y^{ \prime}} = \frac{qQ}{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} - \frac{qQv^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$.
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой электрическую составляющую $F_{yE}^{ \prime}$, второе — магнитную составляющую $E_{yM}^{ \prime}$ поперечной силы $F_{y}^{ \prime}$. Электрическая составляющая $F_{yE}^{ \prime}$ в системе координат $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ в $(1 — v^{2}/c^{2})^{ -1/2}$ раза больше силы $F_{y}^{ \prime}$ в системе отсчета, где заряды покоятся. Следовательно, и напряженность "поперечного" электрического поля в $(1 — v^{2}/c^{2})^{ -1/2}$ больше, напряженности поля, создаваемого неподвижным зарядом.
Магнитная составляющая $F_{yM}^{ \prime}$ поперечной силы $F_{y}^{ \prime}$, действующей на каждый из зарядов, направлена противоположно электрической составляющей $F_{yE}^{ \prime}$, т.е. является силой притяжения. Поэтому, магнитное поле, создаваемое каждым из зарядов в точке, где находится другой заряд, направлено вдоль оси $Z^{ \prime}$ (рис. 2). При этом
$\frac{F_{yM}^{ \prime}}{F_{yE}^{ \prime}} = \frac{v^{2}}{c^{2}}$.
Индукцию магнитного поля, создаваемого зарядом $Q$, можно найти, приравняв силу Лоренца, действующую на заряд $q$ и равную $qvB_{zQ}^{ \prime}$, магнитной составляющей $F_{yM}^{ \prime}$ поперечной силы $F_{y}^{ \prime}$. Отсюда
$B_{zQ}^{ \prime} = \frac{Qv}{ 4 \pi \epsilon_{0} c^{2} r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} = - \frac{ \mu_{0} Qv}{4 \pi r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$,
где $\mu_{0} = 1/( \epsilon_{0} c^{2})$ — магнитная постоянная.
Таким образом, магнитное взаимодействие может рассматриваться как следствие релятивистских формул для преобразования поперечной силы и тем самым представляет собой чисто релятивистский эффект. Отметим, что комбинация $E^{2} - c^{2}B^{2}$ инвариантна относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Ответ: а) $F_{y^{ \prime}} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$;
б) Поля, создаваемые зарядом $Q$ в точке, где находится заряд $q$, в системе $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ имеют вид:
$E_{yQ}^{ \prime} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}; B_{zQ}^{ \prime} = \frac{ \mu{0}Qv}{ 4 \pi r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$.
Два точечных заряда $q$ и $Q$ расположены на расстоянии $r$ друг от друга и неподвижны относительно системы отсчета $XYZ$. Между этими зарядами действует кулоновская сила, модуль которой $F_{y} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}$.
а) Какие силы $F_{y^{ \prime}}$ будут действовать между этими зарядами в систем $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$, которая движется вдоль оси $X$ налево со скоростью $v$ (см. рис.)?
б) Какова будет напряженность электрического и индукция магнитного полей, создаваемых зарядами в системе $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$?
Решение:
рис.1
рис.2
а) В системе $X^{ \prime}Y^[ \prime]Z^{ \prime}$ заряды будут двигаться со скоростью $v$ вправо (рис.1). Модуль силы взаимодействия между движущимися зарядами $F{y^{ \prime}}$ в этой системе отсчета меньше, чем в системе $XYZ$ где заряды покоятся. Действительно, в релятивистской механике, как и в классической, $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$. Поперечная составляющая импульса $p_{y}$ и ее изменение $\Delta p_{y}$, как легко проверить, не меняется при переходе к системе отсчета, равномерно движущейся относительно исходной вдоль оси $X$. Промежуток времени $\Delta t^{ \prime} = \frac{ \Delta t}{ \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}}$. Поэтому для поперечной составляющей силы $F^{ \prime}$ имеем
$F_{y}^{ \prime} = F_{y} \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}$.
б) Умножив числитель и знаменатель выражения для $F_{y^{ \prime}}$ на $\sqrt{ 1 - v^{2}/c^{2}}$, получаем:
$F_{y^{ \prime}} = \frac{qQ}{ 4 \pi \epsilon_{0} r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} - \frac{qQv^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$.
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой электрическую составляющую $F_{yE}^{ \prime}$, второе — магнитную составляющую $E_{yM}^{ \prime}$ поперечной силы $F_{y}^{ \prime}$. Электрическая составляющая $F_{yE}^{ \prime}$ в системе координат $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ в $(1 — v^{2}/c^{2})^{ -1/2}$ раза больше силы $F_{y}^{ \prime}$ в системе отсчета, где заряды покоятся. Следовательно, и напряженность "поперечного" электрического поля в $(1 — v^{2}/c^{2})^{ -1/2}$ больше, напряженности поля, создаваемого неподвижным зарядом.
Магнитная составляющая $F_{yM}^{ \prime}$ поперечной силы $F_{y}^{ \prime}$, действующей на каждый из зарядов, направлена противоположно электрической составляющей $F_{yE}^{ \prime}$, т.е. является силой притяжения. Поэтому, магнитное поле, создаваемое каждым из зарядов в точке, где находится другой заряд, направлено вдоль оси $Z^{ \prime}$ (рис. 2). При этом
$\frac{F_{yM}^{ \prime}}{F_{yE}^{ \prime}} = \frac{v^{2}}{c^{2}}$.
Индукцию магнитного поля, создаваемого зарядом $Q$, можно найти, приравняв силу Лоренца, действующую на заряд $q$ и равную $qvB_{zQ}^{ \prime}$, магнитной составляющей $F_{yM}^{ \prime}$ поперечной силы $F_{y}^{ \prime}$. Отсюда
$B_{zQ}^{ \prime} = \frac{Qv}{ 4 \pi \epsilon_{0} c^{2} r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} = - \frac{ \mu_{0} Qv}{4 \pi r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$,
где $\mu_{0} = 1/( \epsilon_{0} c^{2})$ — магнитная постоянная.
Таким образом, магнитное взаимодействие может рассматриваться как следствие релятивистских формул для преобразования поперечной силы и тем самым представляет собой чисто релятивистский эффект. Отметим, что комбинация $E^{2} - c^{2}B^{2}$ инвариантна относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Ответ: а) $F_{y^{ \prime}} = \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$;
б) Поля, создаваемые зарядом $Q$ в точке, где находится заряд $q$, в системе $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ имеют вид:
$E_{yQ}^{ \prime} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}; B_{zQ}^{ \prime} = \frac{ \mu{0}Qv}{ 4 \pi r^{2} \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$.
