Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2194
2017-01-28 
Собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 20 см$ освещается широким параллельным пучком света. За линзой на расстоянии $l = 30 см$ от нее расположено плоское зеркало, перпендикулярное оптической оси линзы. После отражения от зеркала на линзу снова попадает 20% светового потока, прошедшего через линзу. На каком расстоянии от линзы $l_{1}$ следует поместить то же зеркало, чтобы после отражения от зеркала на линзу падало только 10% прошедшего через нее светового потока?
Решение:
Анализ условия задачи позволяет сделать вывод, что зеркало не полностью отражает падающий на него свет. Действительно, если бы не было поглощения света зеркалом, на линзу после отражения от зеркала падал бы световой поток $\Phi = \Phi (d/D)^{2}$, где $\Phi$ — световой поток, прошедший через линзу (рис.). Из подобия треугольников на рис. можно найти отношение $d/D$:
$\frac{d}{D} = \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{-1}$.
Теперь для отношения $\Phi/ \Phi_{0}$ получается выражение
$\frac{ \Phi}{ \Phi_{0}} \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{-2}$,
из которого при заданных значениях $l$ и $F$ не получается приведенного в условии задачи отношения $\Phi/ \Phi_{0}$. Поэтому можно сделать вывод о поглощении части светового потока зеркалом. В этом случае
$\Phi = \alpha \Phi_{0} \left ( \frac{d}{D} \right )^{2}$,
где $\alpha < 1$ — коэффициент отражения зеркала, показывающий какая доля светового потока, упавшего на зеркало, отражается им. Для $\Phi/ \Phi$ теперь получаем:
$\frac{ \Phi}{ \Phi_{0}} = \alpha \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{-2}$.
Отсюда можно найти коэффициент отражения $\alpha$:
$\alpha = \frac{ \Phi}{ \Phi_{0}} \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{2}$.
Подставляя сюда данные условия задачи, находим $\alpha = 0,8$.
Теперь находим новое расстояние от зеркала до линзы $l_{1}$, обеспечивающее нужное значение $\Phi/ \Phi_{0}$,
$l_{1} = \frac{F}{2} \left ( \sqrt{ \alpha \left ( \frac{ \Phi_{0}}{ \Phi} \right ) } +1 \right )$.
Подставляя в последнюю формулу значения $F = 20 см, \Phi / \Phi_{0} = 0,1, \alpha = 0,8$, получим:
$l_{1} = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{2} l \approx 38,3 см$.
Ответ: $l_{1} \approx 38,3 см$.
Собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 20 см$ освещается широким параллельным пучком света. За линзой на расстоянии $l = 30 см$ от нее расположено плоское зеркало, перпендикулярное оптической оси линзы. После отражения от зеркала на линзу снова попадает 20% светового потока, прошедшего через линзу. На каком расстоянии от линзы $l_{1}$ следует поместить то же зеркало, чтобы после отражения от зеркала на линзу падало только 10% прошедшего через нее светового потока?
Решение:
Анализ условия задачи позволяет сделать вывод, что зеркало не полностью отражает падающий на него свет. Действительно, если бы не было поглощения света зеркалом, на линзу после отражения от зеркала падал бы световой поток $\Phi = \Phi (d/D)^{2}$, где $\Phi$ — световой поток, прошедший через линзу (рис.). Из подобия треугольников на рис. можно найти отношение $d/D$:
$\frac{d}{D} = \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{-1}$.
Теперь для отношения $\Phi/ \Phi_{0}$ получается выражение
$\frac{ \Phi}{ \Phi_{0}} \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{-2}$,
из которого при заданных значениях $l$ и $F$ не получается приведенного в условии задачи отношения $\Phi/ \Phi_{0}$. Поэтому можно сделать вывод о поглощении части светового потока зеркалом. В этом случае
$\Phi = \alpha \Phi_{0} \left ( \frac{d}{D} \right )^{2}$,
где $\alpha < 1$ — коэффициент отражения зеркала, показывающий какая доля светового потока, упавшего на зеркало, отражается им. Для $\Phi/ \Phi$ теперь получаем:
$\frac{ \Phi}{ \Phi_{0}} = \alpha \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{-2}$.
Отсюда можно найти коэффициент отражения $\alpha$:
$\alpha = \frac{ \Phi}{ \Phi_{0}} \left ( 2 \frac{l}{F} - 1 \right )^{2}$.
Подставляя сюда данные условия задачи, находим $\alpha = 0,8$.
Теперь находим новое расстояние от зеркала до линзы $l_{1}$, обеспечивающее нужное значение $\Phi/ \Phi_{0}$,
$l_{1} = \frac{F}{2} \left ( \sqrt{ \alpha \left ( \frac{ \Phi_{0}}{ \Phi} \right ) } +1 \right )$.
Подставляя в последнюю формулу значения $F = 20 см, \Phi / \Phi_{0} = 0,1, \alpha = 0,8$, получим:
$l_{1} = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{2} l \approx 38,3 см$.
Ответ: $l_{1} \approx 38,3 см$.
