Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2192
2017-01-28 
На пути пучка параллельных лучей поставлен экран, перпендикулярный оси пучка. В точке А экрана помещен индикатор, регистрирующий энергию излучения, приносимую в единицу времени на единицу площади экрана. Во сколько $\alpha$ раз изменится показание прибора, если перед экраном на расстоянии $L$ от него поместить собирающую линзу так, чтобы точка А лежала на ее главной оптической оси?
Решение:
рис.1
рис.2
Ход лучей в системе показан на рис. 1 и 2. Первый из них отвечает случаю $L > F$, второй — случаю $L < F$. Обозначим радиус линзы $R$ и радиус пятна на экране $r$. Пусть $E$ — энергия, приносимая пучком в единицу времени на переднюю поверхность линзы. Тогда на единицу поверхности линзы будет приходиться энергия $E/( \pi R^{2})$. Очевидно, что такая же энергия приносится пучком за единицу времени на единицу площади экрана в отсутствие линзы.
После установки линзы на часть экрана, ограниченную светлым пятном (т.е. окружностью радиусом $r$), поступит в единицу времени та же энергия $E$, которая распределяется в пределах освещенного пятна со средней поверхностной плотностью $E/( \pi r^{2})$. Следовательно, в результате установки линзы показание прибора, регистрирующего энергию излучения, приносимую в единицу времени на единицу площади экрана изменятся в
$\alpha = \left ( \frac{R}{r} \right )^{2}$ раз.
Теперь, обратившись к рис. 1 и 2, можно видеть, что в обоих случаях справедливо равенство $R/r = F/|F-L|$. Учитывая это соотношение, для искомой величины $\alpha$ получаем
$\alpha = \left ( \frac{F}{F-L} \right )^{2}$.
Отметим, что ответ получен в приближении геометрической оптики. В действительности при конечной ширине пучка параллельных лучей линза со сферическими поверхностями никогда не собирает этот пучок в одну точку. Из-за явления дифракции при $L = F$ лучи освещают на экране пятно конечных размеров. В результате, если размеры индикатора меньше размеров этого пятна, $\alpha$ не стремится к бесконечности при $L \rightarrow F$. Если же размеры индикатора больше размеров освещенного пятна, то для определения $\alpha$ необходимо знать, как работает индикатор, когда освещена только часть его поверхности.
Ответ: $\alpha = \left ( \frac{F}{F-L} \right )^{2}$.
На пути пучка параллельных лучей поставлен экран, перпендикулярный оси пучка. В точке А экрана помещен индикатор, регистрирующий энергию излучения, приносимую в единицу времени на единицу площади экрана. Во сколько $\alpha$ раз изменится показание прибора, если перед экраном на расстоянии $L$ от него поместить собирающую линзу так, чтобы точка А лежала на ее главной оптической оси?
Решение:
рис.1
рис.2
Ход лучей в системе показан на рис. 1 и 2. Первый из них отвечает случаю $L > F$, второй — случаю $L < F$. Обозначим радиус линзы $R$ и радиус пятна на экране $r$. Пусть $E$ — энергия, приносимая пучком в единицу времени на переднюю поверхность линзы. Тогда на единицу поверхности линзы будет приходиться энергия $E/( \pi R^{2})$. Очевидно, что такая же энергия приносится пучком за единицу времени на единицу площади экрана в отсутствие линзы.
После установки линзы на часть экрана, ограниченную светлым пятном (т.е. окружностью радиусом $r$), поступит в единицу времени та же энергия $E$, которая распределяется в пределах освещенного пятна со средней поверхностной плотностью $E/( \pi r^{2})$. Следовательно, в результате установки линзы показание прибора, регистрирующего энергию излучения, приносимую в единицу времени на единицу площади экрана изменятся в
$\alpha = \left ( \frac{R}{r} \right )^{2}$ раз.
Теперь, обратившись к рис. 1 и 2, можно видеть, что в обоих случаях справедливо равенство $R/r = F/|F-L|$. Учитывая это соотношение, для искомой величины $\alpha$ получаем
$\alpha = \left ( \frac{F}{F-L} \right )^{2}$.
Отметим, что ответ получен в приближении геометрической оптики. В действительности при конечной ширине пучка параллельных лучей линза со сферическими поверхностями никогда не собирает этот пучок в одну точку. Из-за явления дифракции при $L = F$ лучи освещают на экране пятно конечных размеров. В результате, если размеры индикатора меньше размеров этого пятна, $\alpha$ не стремится к бесконечности при $L \rightarrow F$. Если же размеры индикатора больше размеров освещенного пятна, то для определения $\alpha$ необходимо знать, как работает индикатор, когда освещена только часть его поверхности.
Ответ: $\alpha = \left ( \frac{F}{F-L} \right )^{2}$.
