Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2186
2017-01-22 
Светящаяся точка находится на расстоянии $d$ от собирающей линзы и на расстоянии $h$ от ее главной оптической оси; при этом она движется со скоростью $\vec{V}$. Найти скорость движения изображения светящейся точки, если фокусное расстояние линзы равно $F$.
Решение:
Разложим скорость светящейся точки $\vec{V}$ на две составляющие $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения $\vec{r}_{1} = \vec{V}_{1} \Delta t$ и $\vec{r}_{2} = \vec{V}_{2} \Delta t$. Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}, \frac{1}{d-r_{1}} + \frac{1}{f+r_{1}^{ \prime}} = \frac{1}{F}$, (1)
где $r_{1}^{ \prime}$ — перемещение изображения светящейся точки вдоль главной оптической оси. Приравнивая левые части равенства (1), находим
$\frac{1}{d-r_{1}} - \frac{1}{d} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f+r_{1}^{ \prime}}$.
Отсюда следует, что
$\frac{r_{1}^{ \prime}}{r_{1}} = \frac{f^{2}}{d^{2}}$. (2)
Теперь, используя первое из равенств (1), получаем с помощью (2)
$\frac{r_{1}^{ \prime}}{r_{1}} = \frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$.
Такое же соотношение, очевидно, справедливо и для скоростей точки $V_{1}$ и ее изображения $V_{1}^{ \prime}$
$V_{1}^{ \prime} = V_{1} \frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$. (3)
Для перемещения, перпендикулярного главной оптической оси, имеем:
$\frac{h^{ \prime}}{h} = \frac{f}{d}, \frac{h^{ \prime} - r_{2}^{ \prime}}{h - r_{2}} = \frac{f}{d}$.
Из этих равенств следует
$\frac{r_{2}^{ \prime}}{r_{2}} = \frac{f}{d}$.
Воспользовавшись формулой линзы, получаем
$\frac{r_{2}^{ \prime}}{r_{2}} = \frac{F}{d-F}$.
Такое же соотношение справедливо и для отношения соответствующих скоростей точки и ее изображения:
$V_{2}^{ \prime} = V_{2} \frac{F}{d-F}$. (4)
Используя (3) и (4), можно найти вектор $\vec{V}^{ \prime}$ скорости изображения светящейся точки.
Отметим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения. Поэтому изображение объемного предмета не может быть в общем случае подобным самому предмету. Для сохранения геометрического подобия объемный предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Поэтому, для того, чтобы с помощью тонкой линзы получить изображение объемного предмета, геометрически подобное самому предмету, нужно чтобы продольные размеры предмета были малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить предмет нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.
Ответ: $V_{1}^{ \prime} = V_{1} \frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}, V_{2}^{ \prime} = V_{2} \frac{F}{d-F}$, где $V_{1} (V_{1}^{ \prime})$ и $V_{2} (V_{2}^{ \prime})$ - составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.
Светящаяся точка находится на расстоянии $d$ от собирающей линзы и на расстоянии $h$ от ее главной оптической оси; при этом она движется со скоростью $\vec{V}$. Найти скорость движения изображения светящейся точки, если фокусное расстояние линзы равно $F$.
Решение:
Разложим скорость светящейся точки $\vec{V}$ на две составляющие $\vec{V}_{1}$ и $\vec{V}_{2}$, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения $\vec{r}_{1} = \vec{V}_{1} \Delta t$ и $\vec{r}_{2} = \vec{V}_{2} \Delta t$. Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}, \frac{1}{d-r_{1}} + \frac{1}{f+r_{1}^{ \prime}} = \frac{1}{F}$, (1)
где $r_{1}^{ \prime}$ — перемещение изображения светящейся точки вдоль главной оптической оси. Приравнивая левые части равенства (1), находим
$\frac{1}{d-r_{1}} - \frac{1}{d} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f+r_{1}^{ \prime}}$.
Отсюда следует, что
$\frac{r_{1}^{ \prime}}{r_{1}} = \frac{f^{2}}{d^{2}}$. (2)
Теперь, используя первое из равенств (1), получаем с помощью (2)
$\frac{r_{1}^{ \prime}}{r_{1}} = \frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$.
Такое же соотношение, очевидно, справедливо и для скоростей точки $V_{1}$ и ее изображения $V_{1}^{ \prime}$
$V_{1}^{ \prime} = V_{1} \frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$. (3)
Для перемещения, перпендикулярного главной оптической оси, имеем:
$\frac{h^{ \prime}}{h} = \frac{f}{d}, \frac{h^{ \prime} - r_{2}^{ \prime}}{h - r_{2}} = \frac{f}{d}$.
Из этих равенств следует
$\frac{r_{2}^{ \prime}}{r_{2}} = \frac{f}{d}$.
Воспользовавшись формулой линзы, получаем
$\frac{r_{2}^{ \prime}}{r_{2}} = \frac{F}{d-F}$.
Такое же соотношение справедливо и для отношения соответствующих скоростей точки и ее изображения:
$V_{2}^{ \prime} = V_{2} \frac{F}{d-F}$. (4)
Используя (3) и (4), можно найти вектор $\vec{V}^{ \prime}$ скорости изображения светящейся точки.
Отметим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения. Поэтому изображение объемного предмета не может быть в общем случае подобным самому предмету. Для сохранения геометрического подобия объемный предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Поэтому, для того, чтобы с помощью тонкой линзы получить изображение объемного предмета, геометрически подобное самому предмету, нужно чтобы продольные размеры предмета были малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить предмет нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.
Ответ: $V_{1}^{ \prime} = V_{1} \frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}, V_{2}^{ \prime} = V_{2} \frac{F}{d-F}$, где $V_{1} (V_{1}^{ \prime})$ и $V_{2} (V_{2}^{ \prime})$ - составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.
