Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2182
2017-01-22 
Собирающая линза дает изображение предмета на экране. Не меняя расстояния $L$ между предметом и экраном, перемещают линзу таким образом, что на экране возникает новое изображение предмета, в $n$ раз больше первого. На какое расстояние $\Delta$ передвинули линзу?
Решение:
Обозначив расстояние от линзы до предмета $d_{1}$, от линзы до экрана $f_{1}$, фокусное расстояние линзы $F$ имеем:
$d_{1} + f_{1} = L, \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{f_{1}} = \frac{1}{F}$. (1)
Система уравнений (1) для $d_{1}$ и $f_{1}$ симметрична относительно замены $d_{1} \leftrightarrow f_{1}$. Это означает, что расстояния $d_{1}$ и $f_{1}$ при получении первого четкого изображения на экране связаны с d2 и f2 при получении второго четкого изображения соотношениями:
$d_{1} = f_{2}, f_{1} = d_{2}$. (2)
Используем условие об относительной величине резких изображений. Обозначим размер предмета $h$, а размеры изображений $h_{1}$ и $h_{2}$. Тогда
$\frac{h}{h_{1}} = \frac{d_{1}}{f_{1}}, \frac{h}{h_{2}} = \frac{d_{2}}{f_{2}}$.
Разделив почленно эти равенства для исключения неизвестного параметра $h$, получим:
$\frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{d_{1}f_{2}}{f_{1}d_{2}} = n$.
С учетом (2) последнее равенство перепишется в виде $f_{2}^{2}/ d_{2}^{2} = n$, откуда
$f_{2} = \sqrt{n} d_{2}$, (3)
Искомое перемещение линзы $\Delta$ при получении второго резкого изображения очевидным образом выражается через $d_{i}$ и $f_{i}$:
$\Delta = d_{1} - d_{2} = f_{2} - f_{1}$.
что с помощью (2) и (3) можно переписать в виде
$\Delta = f_{2} + d_{2} = d_{2}( \sqrt{n} - 1)$. (4)
Из первого уравнения (1) с помощью (3) находим $\Delta = L/( \sqrt{n} + 1)$ и выражение (4) для $\Delta$ принимает вид: $\Delta = L \frac{ \sqrt{n} - 1}{ \sqrt{n} + 1}$.
Ответ: $\Delta = L \frac{ \sqrt{n} - 1}{ \sqrt{n} + 1}$.
Собирающая линза дает изображение предмета на экране. Не меняя расстояния $L$ между предметом и экраном, перемещают линзу таким образом, что на экране возникает новое изображение предмета, в $n$ раз больше первого. На какое расстояние $\Delta$ передвинули линзу?
Решение:
Обозначив расстояние от линзы до предмета $d_{1}$, от линзы до экрана $f_{1}$, фокусное расстояние линзы $F$ имеем:
$d_{1} + f_{1} = L, \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{f_{1}} = \frac{1}{F}$. (1)
Система уравнений (1) для $d_{1}$ и $f_{1}$ симметрична относительно замены $d_{1} \leftrightarrow f_{1}$. Это означает, что расстояния $d_{1}$ и $f_{1}$ при получении первого четкого изображения на экране связаны с d2 и f2 при получении второго четкого изображения соотношениями:
$d_{1} = f_{2}, f_{1} = d_{2}$. (2)
Используем условие об относительной величине резких изображений. Обозначим размер предмета $h$, а размеры изображений $h_{1}$ и $h_{2}$. Тогда
$\frac{h}{h_{1}} = \frac{d_{1}}{f_{1}}, \frac{h}{h_{2}} = \frac{d_{2}}{f_{2}}$.
Разделив почленно эти равенства для исключения неизвестного параметра $h$, получим:
$\frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{d_{1}f_{2}}{f_{1}d_{2}} = n$.
С учетом (2) последнее равенство перепишется в виде $f_{2}^{2}/ d_{2}^{2} = n$, откуда
$f_{2} = \sqrt{n} d_{2}$, (3)
Искомое перемещение линзы $\Delta$ при получении второго резкого изображения очевидным образом выражается через $d_{i}$ и $f_{i}$:
$\Delta = d_{1} - d_{2} = f_{2} - f_{1}$.
что с помощью (2) и (3) можно переписать в виде
$\Delta = f_{2} + d_{2} = d_{2}( \sqrt{n} - 1)$. (4)
Из первого уравнения (1) с помощью (3) находим $\Delta = L/( \sqrt{n} + 1)$ и выражение (4) для $\Delta$ принимает вид: $\Delta = L \frac{ \sqrt{n} - 1}{ \sqrt{n} + 1}$.
Ответ: $\Delta = L \frac{ \sqrt{n} - 1}{ \sqrt{n} + 1}$.
