Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2181
2017-01-22 
Радуга возникает при преломлении и отражении лучей света в водяных каплях. На рисунке показан путь луча света в капле. Луч входит в каплю в точке Д отражается от стенки капли в точке В и выходит из капли в точке С. Углы $\theta$ и $\theta^{ \prime}$ — это угол падения и преломления света в точке А.
а) Определите углы падения и отражения света в точке В и углы падения и преломления в точке С.
б) Покажите, что угол отклонения света от своего направления равен $\theta - \theta^{ \prime}$ в точке А, $\pi - 2 \theta^{ \prime}$ в точке В и $\theta - \theta^{ \prime}$ в точке С. Чему равно полное отклонение $\Delta$ луча света каплей от его первоначального направления ?
в) Радуга образуется тогда, когда все лучи, лежащие внутри малого интервала $d \theta$ углов падения на различные капли воды, испытывают одинаковое отклонение $\Delta$ от первоначального направления: $d \Delta/ d \theta = 0$. Чему равен критический угол $\theta_{c}$, при котором это происходит, если показатель преломления воды равен $n$? Каков угловой радиус радуги?
г) Показатель преломления воды для красного света равен 1,330. Определите $\theta_{c}$ и угол $\Delta$. Нарисуйте ход красного луча в радуге.
д) Показатель преломления воды для фиолетового света равен 1,342. Определите $\theta_{c}$ и угол $\Delta$. Изобразите на предыдущем рисунке путь фиолетового луча. Наблюдатель будет видеть красный свет выше или ниже фиолетового?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
а) $\theta$ и $\theta^{ \prime}$ в точке B; $\theta^{ \prime}$ и $\theta$ в точке С (см. рис. 1).
б) $\Delta = \pi + 2 \theta - 4 \theta^{ \prime}$. Как видно на рис. 1, $\Delta = \pi - 2 \alpha$, а так как угол ABO является внешним для треугольника ABD, то $\theta^{ \prime} = ( \theta - \theta^{ \prime}) + \alpha$.
в) Критический угол $\theta_{c}$ определяется условием $\cos^{2} \theta_{c} = (n^{2} - 1)/3$.
Используя закон преломления $\sin \theta / \sin \theta^{ \prime} = n$, выражение для угла $\Delta$ можно переписать в виде
$\Delta = \pi + 2 \theta - 4 arcsin \left ( \frac{ \sin \theta}{n} \right )$.
Дифференцируя это равенство по $\theta$, получаем $\theta_{c}$, приравнивая производную нулю.
При $n = 1,33$ находим: $\theta_{c} \approx 60^{ \circ}, \Delta \approx 138^{ \circ}$. Для углового радиуса радуги получаем: $2 \alpha = \pi - \Delta \approx 42^{ \circ}$ (рис. 2). Радуга видна под углом $42^{ \circ}$ от прямой, проходящей через солнце и глаз наблюдателя.
г) Для красного света $\theta_{c} \approx 59^{ \circ}35^{ \prime}; \Delta \approx 137^{ \circ}10^{ \prime}$.
д) Для фиолетового цвета $\theta_{c} \approx 58^{ \circ}53^{ \prime}; \Delta \approx 139^{ \circ} 14^{ \prime}$. Фиолетовый цвет в радуге будет ниже красного (рис. 3).
Радуга возникает при преломлении и отражении лучей света в водяных каплях. На рисунке показан путь луча света в капле. Луч входит в каплю в точке Д отражается от стенки капли в точке В и выходит из капли в точке С. Углы $\theta$ и $\theta^{ \prime}$ — это угол падения и преломления света в точке А.
а) Определите углы падения и отражения света в точке В и углы падения и преломления в точке С.
б) Покажите, что угол отклонения света от своего направления равен $\theta - \theta^{ \prime}$ в точке А, $\pi - 2 \theta^{ \prime}$ в точке В и $\theta - \theta^{ \prime}$ в точке С. Чему равно полное отклонение $\Delta$ луча света каплей от его первоначального направления ?
в) Радуга образуется тогда, когда все лучи, лежащие внутри малого интервала $d \theta$ углов падения на различные капли воды, испытывают одинаковое отклонение $\Delta$ от первоначального направления: $d \Delta/ d \theta = 0$. Чему равен критический угол $\theta_{c}$, при котором это происходит, если показатель преломления воды равен $n$? Каков угловой радиус радуги?
г) Показатель преломления воды для красного света равен 1,330. Определите $\theta_{c}$ и угол $\Delta$. Нарисуйте ход красного луча в радуге.
д) Показатель преломления воды для фиолетового света равен 1,342. Определите $\theta_{c}$ и угол $\Delta$. Изобразите на предыдущем рисунке путь фиолетового луча. Наблюдатель будет видеть красный свет выше или ниже фиолетового?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
а) $\theta$ и $\theta^{ \prime}$ в точке B; $\theta^{ \prime}$ и $\theta$ в точке С (см. рис. 1).
б) $\Delta = \pi + 2 \theta - 4 \theta^{ \prime}$. Как видно на рис. 1, $\Delta = \pi - 2 \alpha$, а так как угол ABO является внешним для треугольника ABD, то $\theta^{ \prime} = ( \theta - \theta^{ \prime}) + \alpha$.
в) Критический угол $\theta_{c}$ определяется условием $\cos^{2} \theta_{c} = (n^{2} - 1)/3$.
Используя закон преломления $\sin \theta / \sin \theta^{ \prime} = n$, выражение для угла $\Delta$ можно переписать в виде
$\Delta = \pi + 2 \theta - 4 arcsin \left ( \frac{ \sin \theta}{n} \right )$.
Дифференцируя это равенство по $\theta$, получаем $\theta_{c}$, приравнивая производную нулю.
При $n = 1,33$ находим: $\theta_{c} \approx 60^{ \circ}, \Delta \approx 138^{ \circ}$. Для углового радиуса радуги получаем: $2 \alpha = \pi - \Delta \approx 42^{ \circ}$ (рис. 2). Радуга видна под углом $42^{ \circ}$ от прямой, проходящей через солнце и глаз наблюдателя.
г) Для красного света $\theta_{c} \approx 59^{ \circ}35^{ \prime}; \Delta \approx 137^{ \circ}10^{ \prime}$.
д) Для фиолетового цвета $\theta_{c} \approx 58^{ \circ}53^{ \prime}; \Delta \approx 139^{ \circ} 14^{ \prime}$. Фиолетовый цвет в радуге будет ниже красного (рис. 3).
