Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2167
2017-01-22 
Свет падает по нормали на грань стеклянного клина с малым углом $\gamma$ при вершине (см. рис.). На какой угол повернутся лучи, преломленные клином, при повороте падающих лучей на небольшой угол $\alpha$ вокруг ребра клина?
Решение:
рис.1
рис.2
Так как по условию все рассматриваемые в задаче углы малы, то их синусы в законе преломления можно заменить самими углами, выраженными в радианной мере. Лучи, падающие нормально на переднюю грань клина, испытывают преломление только на его задней грани, угол падения на которую равен преломляющему углу клина (рис. 1). Если угол поворота этих лучей обозначить через $\gamma$, то $n \sin \gamma = \sin( \epsilon + \gamma)$, или для малых углов $n \gamma = \epsilon + \gamma$, откуда
$\epsilon = (n - 1) \gamma$. (1)
Лучи, падающие на переднюю грань клина наклонно (под углом $\alpha$), испытывают преломление на обеих гранях клина. На передней грани $\sin \alpha = n \sin \psi$;, или для малых углов $\alpha = n \psi$, откуда
$\psi = \frac{ \alpha}{n}$. (2)
При преломлении этих лучей на задней грани клина $n \sin ( \psi + \gamma) = \sin \phi$, или $n( \psi + \gamma ) = \phi$. Отсюда находим угол преломления на задней грани клина
$\phi = \alpha + (n -1) \gamma$. (3)
Угол поворота преломленных лучей, как видно из рис. 2, равен разности углов $\phi$ и $\epsilon$. С помощью (1)-(4) получаем:
$\phi - \epsilon = \alpha$. (4)
Это соотношение означает, что преломленный луч поворачивается на тот же угол, что и падающий.
Фактически ответ на вопрос, поставленный в условии задачи, содержится уже в формуле (4), поскольку, как видно из рис. 1, разность $\phi - \alpha$ дает угол отклонения лучей от первоначального направления при прохождении света через клин. Из (4) следует, что угол отклонения $\phi - \alpha = (n - 1) \gamma$ при малых углах не зависит от угла падения $\alpha$, а определяется только показателем преломления и углом $\gamma$ клина.
Угол отклонения $phi - \alpha$, выражаемый формулой (4), можно получить и иначе, не используя закон преломления света, а опираясь на принцип Гюйгенса (при волновой трактовке света) или принцип Ферма (при его геометрической трактовке). На рис. 2 штриховыми линиями показаны положения волновых поверхностей для падающей и преломленной клином плоских волн. Поворот волнового фронта обусловлен уменьшением фазовой скорости света в стекле в га раз. Время прохождения светом участка CFD равно времени прохождения участка АВ. Поэтому должны быть равны оптические длины этих участков:
$|CF| + n|FD| = |AB|$. (5)
Волновой фронт преломленной волны образует угол $\phi$ с передней гранью клина. Поэтому с задней гранью он образует угол $\phi + \gamma$. Теперь с помощью рис. 2 соотношение (5) можно переписать в виде:
$L \alpha + n L \gamma = L( \phi + \gamma)$, (6)
где $L = |AF| \approx |AD|$, так как угол $\gamma$ мал. Из (6) немедленно следует формула (4).
Ответ: преломленный луч поворачивается на тот же угол, что и падающий.
Свет падает по нормали на грань стеклянного клина с малым углом $\gamma$ при вершине (см. рис.). На какой угол повернутся лучи, преломленные клином, при повороте падающих лучей на небольшой угол $\alpha$ вокруг ребра клина?
Решение:
рис.1
рис.2
Так как по условию все рассматриваемые в задаче углы малы, то их синусы в законе преломления можно заменить самими углами, выраженными в радианной мере. Лучи, падающие нормально на переднюю грань клина, испытывают преломление только на его задней грани, угол падения на которую равен преломляющему углу клина (рис. 1). Если угол поворота этих лучей обозначить через $\gamma$, то $n \sin \gamma = \sin( \epsilon + \gamma)$, или для малых углов $n \gamma = \epsilon + \gamma$, откуда
$\epsilon = (n - 1) \gamma$. (1)
Лучи, падающие на переднюю грань клина наклонно (под углом $\alpha$), испытывают преломление на обеих гранях клина. На передней грани $\sin \alpha = n \sin \psi$;, или для малых углов $\alpha = n \psi$, откуда
$\psi = \frac{ \alpha}{n}$. (2)
При преломлении этих лучей на задней грани клина $n \sin ( \psi + \gamma) = \sin \phi$, или $n( \psi + \gamma ) = \phi$. Отсюда находим угол преломления на задней грани клина
$\phi = \alpha + (n -1) \gamma$. (3)
Угол поворота преломленных лучей, как видно из рис. 2, равен разности углов $\phi$ и $\epsilon$. С помощью (1)-(4) получаем:
$\phi - \epsilon = \alpha$. (4)
Это соотношение означает, что преломленный луч поворачивается на тот же угол, что и падающий.
Фактически ответ на вопрос, поставленный в условии задачи, содержится уже в формуле (4), поскольку, как видно из рис. 1, разность $\phi - \alpha$ дает угол отклонения лучей от первоначального направления при прохождении света через клин. Из (4) следует, что угол отклонения $\phi - \alpha = (n - 1) \gamma$ при малых углах не зависит от угла падения $\alpha$, а определяется только показателем преломления и углом $\gamma$ клина.
Угол отклонения $phi - \alpha$, выражаемый формулой (4), можно получить и иначе, не используя закон преломления света, а опираясь на принцип Гюйгенса (при волновой трактовке света) или принцип Ферма (при его геометрической трактовке). На рис. 2 штриховыми линиями показаны положения волновых поверхностей для падающей и преломленной клином плоских волн. Поворот волнового фронта обусловлен уменьшением фазовой скорости света в стекле в га раз. Время прохождения светом участка CFD равно времени прохождения участка АВ. Поэтому должны быть равны оптические длины этих участков:
$|CF| + n|FD| = |AB|$. (5)
Волновой фронт преломленной волны образует угол $\phi$ с передней гранью клина. Поэтому с задней гранью он образует угол $\phi + \gamma$. Теперь с помощью рис. 2 соотношение (5) можно переписать в виде:
$L \alpha + n L \gamma = L( \phi + \gamma)$, (6)
где $L = |AF| \approx |AD|$, так как угол $\gamma$ мал. Из (6) немедленно следует формула (4).
Ответ: преломленный луч поворачивается на тот же угол, что и падающий.
