Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2162
2017-01-22 
Если пускать солнечный зайчик с помощью плоского зеркала прямоугольной формы, то на расположенной близко стене форма светового пятна повторяет форму зеркала, а на стене, расположенной далеко, светлое пятно имеет эллиптическую форму. Объясните, почему.
Решение:
Зеркало подобно диафрагме ограничивает пучок падающих на него прямолинейных солнечных лучей и изменяет их направление. Это изменение направления лучей при их отражении не играет принципиальной роли в вопросе о форме образующегося на стене освещенного пятна. Поэтому достаточно рассмотреть ограничение пучка солнечных лучей отверстием такой же формы и размеров, что и зеркало.
Рассмотрим случай, когда стена расположена близко к отверстию. Поскольку угловой размер солнца очень мал ($\alpha \approx 0,01 рад$), то в первом приближении можно считать Солнце точечным источником света. Тогда освещенное пятно представляет собой центральную проекцию отверстия на плоскость стены. Центр проекции расположен очень далеко (расстояние от Земли до Солнца составляет около $1,5 \cdot 10^{8} км$), поэтому все лучи, попадающие в отверстие, практически параллельны между собой. Если при этом плоскости экрана с отверстием и стены параллельны, то форма и размер освещенного пятна $d_{1}$ совпадают с формой и размером отверстия $d$.
В действительности, из-за конечности углового размера Солнца границы тени на стене от краев отверстия в экране будут размытыми. Очевидно, что сформулированные выше результаты справедливы, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна (т.е. размеров зеркала). Ширина полутени $d^{ \prime} = \alpha L$, где $L$ — расстояние от отверстия до стены (рис.).
Итак, форма солнечного зайчика повторяет форму зеркала при условии $\alpha L \ll d$. Так как $\alpha \approx 0,01$, то это условие принимает вид $L \ll 100d$. При $d = = 10 см$ это дает $L = 10 м$.
Рассмотрим теперь случай, когда стена расположена далеко от отверстия. Теперь в первом приближении отверстие в экране можно считать точечным. Его форма не играет роли, все определяется угловым размером Солнца. Освещенное пятно на стене в этом случае совершенно аналогично изображению Солнца в камере-обскуре. Если стена перпендикулярна солнечным лучам, то светлое пятно представляет собой круг диаметром $d_{1} = \alpha L$. При наклонной стене этот круг превращается в эллипс.
С увеличением размеров отверстия (т. е. зеркала) освещенность пятна возрастает, но его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия <1. Солнечный зайчик имеет эллиптическую (круговую) форму, если $d \ll d_{1} = \alpha L$, т. е. при $L \gg 100d$ или $L \gg 10 м$.
Из приведенного рассмотрения ясно, что безразмерным параметром $\Gamma$, определяющим форму освещенного пятна, является отношение углового диаметра Солнца $\alpha$ к угловому размеру зеркала $\epsilon$ — углу, под которым оно видно от стены:
$\Gamma = \frac{ \alpha}{ \epsilon} = \frac{ \alpha l}{d}$.
При $\Gamma \ll 1$ реализуется первый из рассмотренных случаев, при $\Gamma \gg 1$ — второй.
Учтем теперь дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол $\phi$ дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны $\lambda$ к размеру отверстия $d$:
$\phi = \frac{ \lambda}{ d}$.
Диффракционные эффекты не влияют на форму освещенного пятна, если угол $\phi$ мал по сравнению с угловым размером Солнца $\alpha$:
$\frac{ \lambda}{d} \ll \alpha$.
Считая $\lambda \approx 5 \cdot 10^{-7} м, \alpha \approx 0,01$, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер зеркала $d$ существенно превышают $5 \cdot 10^{-5} м$.
Ответ: свет от солнца образует на стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и дает изображение источника (т. е. Солнца) когда стена далеко.
Если пускать солнечный зайчик с помощью плоского зеркала прямоугольной формы, то на расположенной близко стене форма светового пятна повторяет форму зеркала, а на стене, расположенной далеко, светлое пятно имеет эллиптическую форму. Объясните, почему.
Решение:
Зеркало подобно диафрагме ограничивает пучок падающих на него прямолинейных солнечных лучей и изменяет их направление. Это изменение направления лучей при их отражении не играет принципиальной роли в вопросе о форме образующегося на стене освещенного пятна. Поэтому достаточно рассмотреть ограничение пучка солнечных лучей отверстием такой же формы и размеров, что и зеркало.
Рассмотрим случай, когда стена расположена близко к отверстию. Поскольку угловой размер солнца очень мал ($\alpha \approx 0,01 рад$), то в первом приближении можно считать Солнце точечным источником света. Тогда освещенное пятно представляет собой центральную проекцию отверстия на плоскость стены. Центр проекции расположен очень далеко (расстояние от Земли до Солнца составляет около $1,5 \cdot 10^{8} км$), поэтому все лучи, попадающие в отверстие, практически параллельны между собой. Если при этом плоскости экрана с отверстием и стены параллельны, то форма и размер освещенного пятна $d_{1}$ совпадают с формой и размером отверстия $d$.
В действительности, из-за конечности углового размера Солнца границы тени на стене от краев отверстия в экране будут размытыми. Очевидно, что сформулированные выше результаты справедливы, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна (т.е. размеров зеркала). Ширина полутени $d^{ \prime} = \alpha L$, где $L$ — расстояние от отверстия до стены (рис.).
Итак, форма солнечного зайчика повторяет форму зеркала при условии $\alpha L \ll d$. Так как $\alpha \approx 0,01$, то это условие принимает вид $L \ll 100d$. При $d = = 10 см$ это дает $L = 10 м$.
Рассмотрим теперь случай, когда стена расположена далеко от отверстия. Теперь в первом приближении отверстие в экране можно считать точечным. Его форма не играет роли, все определяется угловым размером Солнца. Освещенное пятно на стене в этом случае совершенно аналогично изображению Солнца в камере-обскуре. Если стена перпендикулярна солнечным лучам, то светлое пятно представляет собой круг диаметром $d_{1} = \alpha L$. При наклонной стене этот круг превращается в эллипс.
С увеличением размеров отверстия (т. е. зеркала) освещенность пятна возрастает, но его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия <1. Солнечный зайчик имеет эллиптическую (круговую) форму, если $d \ll d_{1} = \alpha L$, т. е. при $L \gg 100d$ или $L \gg 10 м$.
Из приведенного рассмотрения ясно, что безразмерным параметром $\Gamma$, определяющим форму освещенного пятна, является отношение углового диаметра Солнца $\alpha$ к угловому размеру зеркала $\epsilon$ — углу, под которым оно видно от стены:
$\Gamma = \frac{ \alpha}{ \epsilon} = \frac{ \alpha l}{d}$.
При $\Gamma \ll 1$ реализуется первый из рассмотренных случаев, при $\Gamma \gg 1$ — второй.
Учтем теперь дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол $\phi$ дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны $\lambda$ к размеру отверстия $d$:
$\phi = \frac{ \lambda}{ d}$.
Диффракционные эффекты не влияют на форму освещенного пятна, если угол $\phi$ мал по сравнению с угловым размером Солнца $\alpha$:
$\frac{ \lambda}{d} \ll \alpha$.
Считая $\lambda \approx 5 \cdot 10^{-7} м, \alpha \approx 0,01$, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер зеркала $d$ существенно превышают $5 \cdot 10^{-5} м$.
Ответ: свет от солнца образует на стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и дает изображение источника (т. е. Солнца) когда стена далеко.
