Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2160
2017-01-22 
Три одинаковые неподвижные металлические пластины расположены в воздухе на равных расстояниях $d$ друг от друга (см. рис.). Площадь каждой из пластин равна $S$. На пластине 1 находится положительный заряд $Q$. Пластины 2 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к катушке индуктивностью $L$. Определить максимальное значение тока через катушку после замыкания ключа $I_{max}$. Расстояние между пластинами мало по сравнению с их размерами. Омическим сопротивлением катушки можно пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассмотрим сначала, каким будет электрическое поле вокруг пластин при разомкнутом ключе $K_{1}$ (рис. 1). Заряженная пластина / создает вокруг себя электрическое поле, напряженность которого
$E = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S}$.
На левой стороне пластины 2 индуцируется отрицательный заряд $- Q/2$, на правой стороне — положительный заряд $Q/2$. Такие же заряды индуцируются на левой и правой сторонах пластины 3. Следовательно, напряженность электрического поля между пластинами будет везде одинакова и определяться приведенной формулой. Если пластины 2 и 3 соединить проводником, то электрическое поле в промежутке между пластинами исчезнет: заряды с правой стороны пластины 2 и с левой стороны пластины / нейтрализуют друг друга (рис. 6.2). При этом энергия электрического поля между пластинами
$W = \epsilon_{0} E^{2} Sd$
превратится в тепло. Если же пластины 2 и 3 замкнуть на идеальную (без активного сопротивления) катушку, то энергия электрического поля превратится в энергию магнитного поля в катушке индуктивности
$W = \frac{LI^{2}_{max}}{2}$,
а в системе начнутся колебания.
Отсюда находим $I_{max} = \frac{Q}{2} \sqrt{ \frac{d}{ \epsilon_{0} LS}}$.
К тому же результату можно прийти иначе, представив поле между пластинами 2 и 3 как электрическое поле конденсатора емкости $C = \epsilon_{0} S/d$ с зарядами $Q/2$ и $-Q/2$ на обкладках. Энергия такого заряженного конденсатора
$W = \frac{1}{2} \frac{Q^{4}/4}{ \epsilon_{0} S/d} = \frac{Q^{2}d}{/ \epsilon_{0} S}$.
Приравнивая это выражение к энергии магнитного поля, выраженной через максимальный ток, немедленно получаем ответ.
Ответ: $I_{max} = \frac{Q}{2} \sqrt{ \frac{d}{ \epsilon_{0} LS}}$.
Три одинаковые неподвижные металлические пластины расположены в воздухе на равных расстояниях $d$ друг от друга (см. рис.). Площадь каждой из пластин равна $S$. На пластине 1 находится положительный заряд $Q$. Пластины 2 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к катушке индуктивностью $L$. Определить максимальное значение тока через катушку после замыкания ключа $I_{max}$. Расстояние между пластинами мало по сравнению с их размерами. Омическим сопротивлением катушки можно пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
Рассмотрим сначала, каким будет электрическое поле вокруг пластин при разомкнутом ключе $K_{1}$ (рис. 1). Заряженная пластина / создает вокруг себя электрическое поле, напряженность которого
$E = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S}$.
На левой стороне пластины 2 индуцируется отрицательный заряд $- Q/2$, на правой стороне — положительный заряд $Q/2$. Такие же заряды индуцируются на левой и правой сторонах пластины 3. Следовательно, напряженность электрического поля между пластинами будет везде одинакова и определяться приведенной формулой. Если пластины 2 и 3 соединить проводником, то электрическое поле в промежутке между пластинами исчезнет: заряды с правой стороны пластины 2 и с левой стороны пластины / нейтрализуют друг друга (рис. 6.2). При этом энергия электрического поля между пластинами
$W = \epsilon_{0} E^{2} Sd$
превратится в тепло. Если же пластины 2 и 3 замкнуть на идеальную (без активного сопротивления) катушку, то энергия электрического поля превратится в энергию магнитного поля в катушке индуктивности
$W = \frac{LI^{2}_{max}}{2}$,
а в системе начнутся колебания.
Отсюда находим $I_{max} = \frac{Q}{2} \sqrt{ \frac{d}{ \epsilon_{0} LS}}$.
К тому же результату можно прийти иначе, представив поле между пластинами 2 и 3 как электрическое поле конденсатора емкости $C = \epsilon_{0} S/d$ с зарядами $Q/2$ и $-Q/2$ на обкладках. Энергия такого заряженного конденсатора
$W = \frac{1}{2} \frac{Q^{4}/4}{ \epsilon_{0} S/d} = \frac{Q^{2}d}{/ \epsilon_{0} S}$.
Приравнивая это выражение к энергии магнитного поля, выраженной через максимальный ток, немедленно получаем ответ.
Ответ: $I_{max} = \frac{Q}{2} \sqrt{ \frac{d}{ \epsilon_{0} LS}}$.
