2014-05-31
Три маленьких тела имеют одноименные заряды $q_{1}, q_{2}$ а $q_{3}$, и
связаны нитями. Длина нити, связывающей первое и второе тело равна $l_{3}$, второе и третье тела - $l_{1}$, третье и первое - $l_{2}$. Определите силу натяжения каждой нити, если система находится в равновесии (сила тяжести отсутствует).
Решение:
Сумма электростатических сил, действующих на заряд $q_{i}$ со стороны двух других зарядов ($\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$), равна и направлена противоположно сумме сил натяжения двух нитей ($\bar{T_{1}}$ и $\bar{T_{2}}$) связанных с данной точкой:
$\bar{F_{1}} + \bar{F_{2}} = - (\bar{T_{1}}+\bar{T_{2}})$. (1)
Направления нитей (и сил их натяжения) противоположны направлениям электростатических сил:
$\bar{T_{1}}= -a_{1} \bar{F_{1}}, \bar{T_{2}}= -a_{2} \bar{F_{2}}$, (2)
где $a_{1},a_{2}$ - некоторые положительные числа. Подставляя выражения (2) в (1), получаем
$(1-a_{1}) \bar{F_{1}} + (1-a_{2}) \bar{F_{2}} = 0$. (3)
Поскольку силы $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$ по условию не параллельны, выполнение равенства (3) возможно только при обращении в ноль коэффициентов перед силами: $a_{1} = 1, a_{2} = 1$. Следовательно, силы натяжения нитей равны по величине силе взаимодействия тех зарядов, которые они соединяют:
$T_{12}=\frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}l^{2}_{3}}, T_{13}=\frac{q_{1}q_{3}}{4 \pi \varepsilon_{0}l^{2}_{2}}, T_{23}=\frac{q_{2}q_{3}}{4 \pi \varepsilon_{0}l^{2}_{1}}q.$.