Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2157
2017-01-22 
Число витков во вторичной обмотке трансформатора с замкнутым сердечником в $n = 2$ раза больше числа витков в первичной обмотке. При включении первичной обмотки в сеть с напряжением $U_{1} = 100 В$ на концах разомкнутой вторичной обмотки существует напряжение $U_{2} = 197 В$. Каким будет напряжение на концах разомкнутой вторичной обмотки $U_{2}^{ \prime}$, если использовать в трансформаторе сердечник того же размера, но из материала с магнитной проницаемостью $\mu$ в $k = 10$ раз меньше, чем в первом случае?
Решение:
В первом случае напряжение $U_{2}$ на концах разомкнутой вторичной обмотки меньше, чем $nU_{1} = 200 В$. В пренебрежении рассеянием магнитного потока и потерями в сердечнике это может быть вызвано только падением напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки.
Напряжение $U_{L}$ на индуктивном сопротивлении первичной обмотки опережает по фазе на $\pi /2$ ток, а, следовательно, и напряжение $U_{R}$ на активном сопротивлении $R$. Поэтому для полного напряжения $U_{1}$ на концах первичной обмотки справедливо:
$U_{1} = \sqrt{ U_{R}^{2} + U_{L}^{2}}$. (1)
Напряжение $U_{L}$ на индуктивном сопротивлении равно по модулю ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{1}$, возникающей в первичной обмотке. Напряжение $U_{2}$ на концах разомкнутой вторичной обмотки равно возникающей в ней ЭДС индукции $\mathcal{E}_{2}$. Поскольку $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ связаны соотношением $\mathcal{E}_{2}/ \mathcal{E}_{1} = n$, то
$U_{2} = nU_{L}$. (2)
Это означает, что напряжение $U_{2}$ на концах разомкнутой вторичной обмотки определяется не полным напряжением $U_{1}$, а только его индуктивной составляющей.
Из соотношения (1) следует, что
$\frac{U_{L}}{U_{1}} = \frac{R_{L}}{ \sqrt{ R^{2} + (R_{L})^{2}}} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 + [R/R_{L}]^{2}}}$. (3)
Поэтому с помощью (2) имеем:
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (R/R_{L})^{2}}}$. (4)
При замене сердечника трансформатора индуктивное сопротивление первичной обмотки уменьшается в $k$ раз при неизменной частоте подаваемого напряжения. Поэтому
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{ 1 + (kR/R_{L})^{2}}}$. (5)
Из соотношений (2) и (3) следует равенство:
$\left ( \frac{R}{R_{L}} \right )^{2} = \left ( \frac{U_{1}}{U_{L}} \right )^{2} - 1 = \left ( \frac{nU_{1}}{U_{2}} \right )^{2} - 1$. (6)
Подставляя (6) в выражение (5), находим:
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{ 1 + k^{2} [n^{2}(U_{1} / U_{2})^{2} - 1]}}$. (7)
Используя заданные в условии значения входящих в формулу (7) величин, получаем $U_{2}^{ \prime} \approx 100 В$. Таким образом, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке оказалось равным поданному на первичную обмотку, несмотря на то, что число витков во вторичной обмотке в два раза больше. Для нормальной работы трансформатора необходимо, чтобы активное сопротивление $R$ первичной обмотки было мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением $R_{L}$. При выполнении этого условия индуктивная составляющая напряжения будет близка к подаваемому на первичную обмотку напряжению $U_{1}$. У такого трансформатора на холостом ходу $U_{2} \approx nU_{1}$, причем эти напряжения находятся почти в противофазе.
Ответ: $U_{2}^{ \prime} \approx 100 В$.
Число витков во вторичной обмотке трансформатора с замкнутым сердечником в $n = 2$ раза больше числа витков в первичной обмотке. При включении первичной обмотки в сеть с напряжением $U_{1} = 100 В$ на концах разомкнутой вторичной обмотки существует напряжение $U_{2} = 197 В$. Каким будет напряжение на концах разомкнутой вторичной обмотки $U_{2}^{ \prime}$, если использовать в трансформаторе сердечник того же размера, но из материала с магнитной проницаемостью $\mu$ в $k = 10$ раз меньше, чем в первом случае?
Решение:
В первом случае напряжение $U_{2}$ на концах разомкнутой вторичной обмотки меньше, чем $nU_{1} = 200 В$. В пренебрежении рассеянием магнитного потока и потерями в сердечнике это может быть вызвано только падением напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки.
Напряжение $U_{L}$ на индуктивном сопротивлении первичной обмотки опережает по фазе на $\pi /2$ ток, а, следовательно, и напряжение $U_{R}$ на активном сопротивлении $R$. Поэтому для полного напряжения $U_{1}$ на концах первичной обмотки справедливо:
$U_{1} = \sqrt{ U_{R}^{2} + U_{L}^{2}}$. (1)
Напряжение $U_{L}$ на индуктивном сопротивлении равно по модулю ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{1}$, возникающей в первичной обмотке. Напряжение $U_{2}$ на концах разомкнутой вторичной обмотки равно возникающей в ней ЭДС индукции $\mathcal{E}_{2}$. Поскольку $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ связаны соотношением $\mathcal{E}_{2}/ \mathcal{E}_{1} = n$, то
$U_{2} = nU_{L}$. (2)
Это означает, что напряжение $U_{2}$ на концах разомкнутой вторичной обмотки определяется не полным напряжением $U_{1}$, а только его индуктивной составляющей.
Из соотношения (1) следует, что
$\frac{U_{L}}{U_{1}} = \frac{R_{L}}{ \sqrt{ R^{2} + (R_{L})^{2}}} = \frac{1}{ \sqrt{ 1 + [R/R_{L}]^{2}}}$. (3)
Поэтому с помощью (2) имеем:
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (R/R_{L})^{2}}}$. (4)
При замене сердечника трансформатора индуктивное сопротивление первичной обмотки уменьшается в $k$ раз при неизменной частоте подаваемого напряжения. Поэтому
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{ 1 + (kR/R_{L})^{2}}}$. (5)
Из соотношений (2) и (3) следует равенство:
$\left ( \frac{R}{R_{L}} \right )^{2} = \left ( \frac{U_{1}}{U_{L}} \right )^{2} - 1 = \left ( \frac{nU_{1}}{U_{2}} \right )^{2} - 1$. (6)
Подставляя (6) в выражение (5), находим:
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{ 1 + k^{2} [n^{2}(U_{1} / U_{2})^{2} - 1]}}$. (7)
Используя заданные в условии значения входящих в формулу (7) величин, получаем $U_{2}^{ \prime} \approx 100 В$. Таким образом, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке оказалось равным поданному на первичную обмотку, несмотря на то, что число витков во вторичной обмотке в два раза больше. Для нормальной работы трансформатора необходимо, чтобы активное сопротивление $R$ первичной обмотки было мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением $R_{L}$. При выполнении этого условия индуктивная составляющая напряжения будет близка к подаваемому на первичную обмотку напряжению $U_{1}$. У такого трансформатора на холостом ходу $U_{2} \approx nU_{1}$, причем эти напряжения находятся почти в противофазе.
Ответ: $U_{2}^{ \prime} \approx 100 В$.
