Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2156
2017-01-22 
На железный сердечник трансформатора вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением $R$. К точкам А и В этого кольца, отстоящим друг от друга на 1/3 его длины, подключен идеальный вольтметр. Что покажет этот вольтметр, если ЭДС индукции, наводимая в кольце, равна $\mathcal{E}$?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Силовые линии вихревого электрического поля, создаваемого изменяющимся магнитным полем, представляют собой замкнутые симметричные кривые, охватывающие сердечник трансформатора. При этом ЭДС индукции однородно распределена по кольцу, так что в любом его участке действующая ЭДС пропорциональна длине участка. В частности на участке АВ индукция $\mathcal{E}_{AB} = (1/3) \mathcal{E}$, а на участке ВСF $\mathcal{E}_{BCF} = (2/3) \mathcal{E}$.
На первый взгляд может показаться, что рассматриваемая задача аналогична задаче об определении напряжения между точками А и В схемы, показанной на рис.1: последовательно соединены три одинаковых источника тока с ЭДС $\mathcal{E}/3$ и внутренним сопротивлением $R/3$ каждый. В этом случае в пренебрежении сопротивлением соединительных проводов, ток в цепи $I = \mathcal{E}/R$, а напряжение между точками А и В равно $U_{AB} = \mathcal{E}/3 - IR/3 = 0$.
Однако в исходной задаче показания вольтметра будут отличны от нуля, поскольку вольтметр со своими соединительными проводами, подключенный к точкам А и В кольца, образует дополнительный контур, в котором также будет возбуждаться ЭДС индукции. При этом напряжение, которое покажет вольтметр, будет зависеть от того, как расположены соединительные провода вольтметра (рис. 2 и рис. 3).
Показания вольтметра зависят от проходящего через него тока $I_{V}$ — вольтметр проградуирован так, что показываемое им напряжение
$U_{V} = I_{V}R_{V}$,
где $R_{V}$ — сопротивление вольтметра. У идеального вольтметра ток $I_{V}$ пренебрежимо мал по сравнению с током в кольце $I$. При включении вольтметра согласно рис. 2, контур, состоящий из дуги АВ кольца и соединительных проводов, не охватывает сердечника трансформатора и, следовательно, ЭДС в нем равна нулю. Поэтому
$IR_{AB} - I_{V}R_{V} = 0$.
Отсюда находим показания вольтметра:
$U_{V} = I_{V}R_{V} = IR_{AB} = \frac{ \mathcal{E}}{R} \cdot \frac{R}{3} = \frac{ \mathcal{E}}{3}$.
Такой же результат получится, разумеется, если рассмотреть контур, состоящий из соединительных проводов и дуги ВС А кольца. Этот контур охватывает сердечник трансформатора и действующая в нем ЭДС равна $\mathcal{E}$. Поэтому имеем:
$IR_{BCA} + I_{V}R_{V} = \mathcal{E}$.
Поскольку $R_{BCA} = (2/3)R$, получаем:
$U_{V} = I_{V}R_{V} = \mathcal{E} - IR_{BCA} = \mathcal{E} - \frac{ \mathcal{E}}{R} \cdot \frac{2R}{3} = \frac{ \mathcal{E}}{3}$.
Теперь рассмотрим случай, когда вольтметр включен согласно рис. 3. Для контура, образуемого дугой АВ кольца и соединительными проводами, получим:
$IR_{AB} + I_{V}^{ \prime} R_{V} = \mathcal{E}$.
Откуда для показания вольтметра имеем:
$U_{V}^{ \prime} = I_{V}^{ \prime} R_{V} = \mathcal{E} - IR_{AB} = \mathcal{E} - \frac{ \mathcal{E}}{R} \cdot \frac{R}{3} = \frac{2 \mathcal{E}}{3}$.
Показание вольтметра выросло в два раза. Подчеркнем, что полученные результаты справедливы в случае идеального вольтметра, ибо в противном случае уже нельзя считать одинаковыми токи в дугах АВ и кольца.
Обратим внимание, что в рассматриваемой цепи вольтметр показывает вовсе не разность потенциалов между точками А и В, которая равна нулю. Вольтметр с проводами не образует "однородного участка" цепи, поскольку в проводах действует ЭДС индукции. Это и приводит к возникновению тока в вольтметре.
Ответ: показания вольтметра будут различны в зависимости от того, как расположены соединительные провода вольтметра.
На железный сердечник трансформатора вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением $R$. К точкам А и В этого кольца, отстоящим друг от друга на 1/3 его длины, подключен идеальный вольтметр. Что покажет этот вольтметр, если ЭДС индукции, наводимая в кольце, равна $\mathcal{E}$?
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Силовые линии вихревого электрического поля, создаваемого изменяющимся магнитным полем, представляют собой замкнутые симметричные кривые, охватывающие сердечник трансформатора. При этом ЭДС индукции однородно распределена по кольцу, так что в любом его участке действующая ЭДС пропорциональна длине участка. В частности на участке АВ индукция $\mathcal{E}_{AB} = (1/3) \mathcal{E}$, а на участке ВСF $\mathcal{E}_{BCF} = (2/3) \mathcal{E}$.
На первый взгляд может показаться, что рассматриваемая задача аналогична задаче об определении напряжения между точками А и В схемы, показанной на рис.1: последовательно соединены три одинаковых источника тока с ЭДС $\mathcal{E}/3$ и внутренним сопротивлением $R/3$ каждый. В этом случае в пренебрежении сопротивлением соединительных проводов, ток в цепи $I = \mathcal{E}/R$, а напряжение между точками А и В равно $U_{AB} = \mathcal{E}/3 - IR/3 = 0$.
Однако в исходной задаче показания вольтметра будут отличны от нуля, поскольку вольтметр со своими соединительными проводами, подключенный к точкам А и В кольца, образует дополнительный контур, в котором также будет возбуждаться ЭДС индукции. При этом напряжение, которое покажет вольтметр, будет зависеть от того, как расположены соединительные провода вольтметра (рис. 2 и рис. 3).
Показания вольтметра зависят от проходящего через него тока $I_{V}$ — вольтметр проградуирован так, что показываемое им напряжение
$U_{V} = I_{V}R_{V}$,
где $R_{V}$ — сопротивление вольтметра. У идеального вольтметра ток $I_{V}$ пренебрежимо мал по сравнению с током в кольце $I$. При включении вольтметра согласно рис. 2, контур, состоящий из дуги АВ кольца и соединительных проводов, не охватывает сердечника трансформатора и, следовательно, ЭДС в нем равна нулю. Поэтому
$IR_{AB} - I_{V}R_{V} = 0$.
Отсюда находим показания вольтметра:
$U_{V} = I_{V}R_{V} = IR_{AB} = \frac{ \mathcal{E}}{R} \cdot \frac{R}{3} = \frac{ \mathcal{E}}{3}$.
Такой же результат получится, разумеется, если рассмотреть контур, состоящий из соединительных проводов и дуги ВС А кольца. Этот контур охватывает сердечник трансформатора и действующая в нем ЭДС равна $\mathcal{E}$. Поэтому имеем:
$IR_{BCA} + I_{V}R_{V} = \mathcal{E}$.
Поскольку $R_{BCA} = (2/3)R$, получаем:
$U_{V} = I_{V}R_{V} = \mathcal{E} - IR_{BCA} = \mathcal{E} - \frac{ \mathcal{E}}{R} \cdot \frac{2R}{3} = \frac{ \mathcal{E}}{3}$.
Теперь рассмотрим случай, когда вольтметр включен согласно рис. 3. Для контура, образуемого дугой АВ кольца и соединительными проводами, получим:
$IR_{AB} + I_{V}^{ \prime} R_{V} = \mathcal{E}$.
Откуда для показания вольтметра имеем:
$U_{V}^{ \prime} = I_{V}^{ \prime} R_{V} = \mathcal{E} - IR_{AB} = \mathcal{E} - \frac{ \mathcal{E}}{R} \cdot \frac{R}{3} = \frac{2 \mathcal{E}}{3}$.
Показание вольтметра выросло в два раза. Подчеркнем, что полученные результаты справедливы в случае идеального вольтметра, ибо в противном случае уже нельзя считать одинаковыми токи в дугах АВ и кольца.
Обратим внимание, что в рассматриваемой цепи вольтметр показывает вовсе не разность потенциалов между точками А и В, которая равна нулю. Вольтметр с проводами не образует "однородного участка" цепи, поскольку в проводах действует ЭДС индукции. Это и приводит к возникновению тока в вольтметре.
Ответ: показания вольтметра будут различны в зависимости от того, как расположены соединительные провода вольтметра.
