Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2150
2017-01-19 
Заряженная частица движется в однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость $\vec{V}_{0}$ перпендикулярна $\vec{E}$ и $\vec{B}$. При этом выполняется условие $E/(V_{0}B) \ll 1$. В те моменты времени, когда скорость частицы направлена противоположно $\vec{V}_{0}$, отношение кинетической энергии частицы к ее начальной кинетической энергии равно $\beta$. Определить по этим данным $E/(V_{0}B)$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Выберем направление осей системы координат как показано на рис. 1 Движение частицы будет происходить в плоскости YZ. Направление силы, действующей на частицу со стороны магнитного поля, когда она имеет указанную на рис. 1 скорость, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, то эта сила, как и сила со стороны электрического поля, направлена вверх. Если заряд отрицателен, то обе силы направлены вниз. Из закона сохранения энергии видно, что когда частица изменит направление скорости на противоположное, величина скорости будет больше $V_{0}$. Действительно, при движении положительной частицы вверх (вдоль линий напряженности $\vec{E}$), а отрицательной — вниз (против линий напряженности $\vec{E}$), потенциальная энергия частиц уменьшается, а, значит, растет кинетическая, т. е. увеличивается скорость частицы.
Перейдем теперь в систему отсчета, в которой существует только магнитное поле. Эта система движется относительно исходной со скоростью $V = E/B$ влево (рис. 2). В ней частица в начальный момент имеет скорость $V_{0} + V$, направленную вдоль оси Z (рис. 3) и, в зависимости от знака заряда, движется по одной из изображенных на рис. 2 окружностей. В момент, когда скорость частицы противоположна начальной в исходной системе отсчета, модуль скорости равен $V_{0} + 2V$. Таким образом, изменение кинетической энергии
$\Delta W_{k} = \frac{m(V_{0} + 2V)^{2}}{2} - \frac{mV_{0}^{2}}{2}$.
По условию $\Delta W_{k} = \beta m V_{0}^{2}/2$, откуда
$4V(V_{0} + V) = 4 \frac{E}{B} \left ( V_{0} + \frac{E}{b} \right ) = \beta V_{0}^{2}$.
Поскольку по условию $V_{0} \gg E/B$, то вторым слагаемым в скобках можно пренебречь по сравнению с первым. Поэтому
$\frac{E}{BV_{0}} = \frac{ \beta }{4}$.
При решении предполагалось $E \ll cB$, что соответствует пренебрежению релятивистскими эффектами.
Ответ: $E(BV_{0}) = \beta /4$.
Заряженная частица движется в однородных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость $\vec{V}_{0}$ перпендикулярна $\vec{E}$ и $\vec{B}$. При этом выполняется условие $E/(V_{0}B) \ll 1$. В те моменты времени, когда скорость частицы направлена противоположно $\vec{V}_{0}$, отношение кинетической энергии частицы к ее начальной кинетической энергии равно $\beta$. Определить по этим данным $E/(V_{0}B)$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Выберем направление осей системы координат как показано на рис. 1 Движение частицы будет происходить в плоскости YZ. Направление силы, действующей на частицу со стороны магнитного поля, когда она имеет указанную на рис. 1 скорость, зависит от знака заряда частицы. Если заряд положителен, то эта сила, как и сила со стороны электрического поля, направлена вверх. Если заряд отрицателен, то обе силы направлены вниз. Из закона сохранения энергии видно, что когда частица изменит направление скорости на противоположное, величина скорости будет больше $V_{0}$. Действительно, при движении положительной частицы вверх (вдоль линий напряженности $\vec{E}$), а отрицательной — вниз (против линий напряженности $\vec{E}$), потенциальная энергия частиц уменьшается, а, значит, растет кинетическая, т. е. увеличивается скорость частицы.
Перейдем теперь в систему отсчета, в которой существует только магнитное поле. Эта система движется относительно исходной со скоростью $V = E/B$ влево (рис. 2). В ней частица в начальный момент имеет скорость $V_{0} + V$, направленную вдоль оси Z (рис. 3) и, в зависимости от знака заряда, движется по одной из изображенных на рис. 2 окружностей. В момент, когда скорость частицы противоположна начальной в исходной системе отсчета, модуль скорости равен $V_{0} + 2V$. Таким образом, изменение кинетической энергии
$\Delta W_{k} = \frac{m(V_{0} + 2V)^{2}}{2} - \frac{mV_{0}^{2}}{2}$.
По условию $\Delta W_{k} = \beta m V_{0}^{2}/2$, откуда
$4V(V_{0} + V) = 4 \frac{E}{B} \left ( V_{0} + \frac{E}{b} \right ) = \beta V_{0}^{2}$.
Поскольку по условию $V_{0} \gg E/B$, то вторым слагаемым в скобках можно пренебречь по сравнению с первым. Поэтому
$\frac{E}{BV_{0}} = \frac{ \beta }{4}$.
При решении предполагалось $E \ll cB$, что соответствует пренебрежению релятивистскими эффектами.
Ответ: $E(BV_{0}) = \beta /4$.
