2014-05-31
Может ли система из трех точечных зарядов находиться в равновесии?
Решение:
Чтобы система из трех свободных зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы силы, действующие на каждый заряд со стороны двух других, были равны по величине и противоположны по направлению. Отсюда ясно, что в равновесном состоянии (если оно вообще возможно) заряды должны находиться на одной прямой. Пусть величины зарядов $q_{1}, q_{2}, q_{3}$. Очевидно, что средний заряд $q_{2}$ может покоиться только в том случае, если заряды $q_{1}$ и $q_{3}$ одного знака. Только при выполнении этого условия силы, действующие на средний заряд, будут направлены противоположно и могут уравновесить друг друга. Когда крайние заряды имеют одинаковые знаки, между ними действуют силы отталкивания; действик этих сил может быть уравновешено только силой притяжения со стороны среднего заряда. Поэтому для равновесия крайних зарядов необходимо, чтобы знак среднего заряда $q_{2}$ был противоположен знаку крайних зарядов $q_{1}$ и $q_{3}$.
Будем считать, что условие, накладываемое требованием равновесия на знаки зарядов, выполнено. Тогда на каждый из зарядов действуют две противоположно направленные силы. Требование равенства этих сил приводит к соотношениям
$q_{1}q_{2}/l^{2}_{1}=q_{1}q_{3}/(l_{1}+l_{2})^{2}$, (1)
$q_{2}q_{1}/l^{2}_{1}=q_{2}q_{3}/l_{2}^{2}$, (2)
$q_{3}q_{2}/l^{2}_{2}=q_{3}q_{1}/(l_{1}+l_{2})^{2}$, (3)
которым при равновесии должны удовлетворять величины зарядов $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ и расстояния $l_{1},l_{2}$ между ними. Нетрудно заметить, что любое из уравнений (1)-(3) является следствием остальных двух. Поэтому реальное ограничение на пять величин $q_{1}, q_{2}, q_{3},l_{1},l_{2}$ накладывают лишь два уравнения системы (1)-(3). Это означает, что при любых наперед заданных значениях трех из пяти величин равновесие системы всегда может быть обеспечено путем специального подбора остальных двух. Так, если произвольно заданы расстояния $l_{1},l_{2}$ и заряд $q_{1}$, то, как следует из уравнении (2), (3), равновесие будет обеспечено, если $q_{2}$ и $q_{3}$ имеют следующие значения:
$q_{2}=\frac{q_{1}}{(1+\eta)^{2}}, q_{3}=\frac{q_{1}}{\eta^{2}}$,
где $\eta \equiv l_{1}/l_{2}$
Итак, система из трех свободных точечных зарядов может находиться в равновесии. Легко показать, что это равновесие будет неустойчивым.