Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2149
2017-01-19 
Заряженная частица помещена без начальной скорости в область, где постоянное однородное электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны. Напряженность электрического поля равна $E$, индукция магнитного поля $B$, заряд частицы $q$, ее масса $m$. Описать движение частицы.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
рис.5
Покажем прежде всего, что траектория частицы представляет собой плоскую фигуру. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Z была направлена вдоль вектора индукции магнитного поля $\vec{B}$, а ось Y — вдоль напряженности электрического поля $\vec{E}$ (рис. 1). Начало системы координат поместим в точку, где в начальный момент покоилась частица. Покоившейся частице электрическое поле сообщает ускорение и, следовательно, скорость вдоль оси Y. Поскольку сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, перпендикулярна как индукции поля, так и скорости частицы, то она действует в плоскости XY. Другими словами, равно нулю ускорение частицы вдоль оси Z, а следовательно, и ее скорость вдоль оси Z. Таким образом, частица никогда не сможет покинуть плоскость XY. Но и в плоскости XY первоначально покоившаяся положительно заряженная частица может двигаться только в верхней полуплоскости ($Y > 0$). В этом проще всего убедиться из энергетических соображений. В самом деле, постоянное магнитное поле, действуя перпендикулярно скорости, работы не совершает, а постоянное электрическое поле потенциально. Потенциальная энергия частицы зависит только от координаты Y. В момент, когда Y-координата частицы обращается в нуль, должна обратиться в нуль и скорость частицы.
Для определения траектории частицы попробуем рассмотреть движение в другой системе отсчета, подобрав скорость новой системы так, чтобы упростить описание движения.
Заметим, что при переходе к новой системе отсчета $K^{ \prime}$, движущейся со скоростью $V (V \ll c)$ относительно системы $K$ электрическое поле $\vec{E}^{ \prime}$ и магнитное $\vec{B}^{ \prime}$ преобразуются следующим образом:
$\vec{E}^{ \prime} = \vec{E} + [ \vec{V} \vec{B}]$,
$\vec{B}^{ \prime} = \vec{B} + \frac{1}{c^{2}} [ \vec{V} \vec{E}]$.
При малых скоростях системы $K^{ \prime}$ относительно $k$ можно считать, что электрическое поле в системе $K^{ \prime}$ меняется, а магнитное поле практически остается прежним.
Можно выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в ней осталось только магнитное поле. Для этого необходимо, чтобы направления осей $K$ и $K^{ \prime}$ совпадали, а система $K^{ \prime}$ двигалась относительно $K$ вдоль оси X (рис. 2) с постоянной скоростью $V = E/B$. При этом предполагается выполненным условие $V \ll c$, что накладывает некоторое ограничение на соотношение полей $E$ и $B$. Добавочное электрическое поле $VB$, возникшее в системе $K^{ \prime}$, будет равно по величине и противоположно по направлению полю $E$. В результате в системе $K^{ \prime}$ останется только магнитное поле $B$.
Теперь возвратимся к описанию первоначально покоившейся в системе отсчета $K$ частицы и рассмотрим это движение с точки зрения наблюдателя в системе $K^{ \prime}$. Очевидно, что начальная скорость частицы в системе $K^{ \prime}$ направлена противоположно оси X и равна $E/B$ (рис. 3).
В однородном магнитном поле заряженная частица равномерно вращается по окружности, если ее начальная скорость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Масса $m$, заряд $q$, скорость частицы $V$, радиус окружности $R$ и индукция магнитного поля $B$ связаны соотношением $mV^{2}/R = qVB$. Отсюда радиус окружности $R = mE/(qB^{2})$ а угловая скорость частицы $\omega = qB/m$.
Определим теперь, как будет двигаться частица в исходной системе $K$. Очевидно, что это движение складывается из равномерного движения по окружности со скоростью $V$ и поступательного движения со скоростью $V$ вдоль оси X. Легко видеть, что точно также движется точка на ободе колеса радиуса $R$, катящегося без проскальзывания вдоль оси X, причем в начальный момент эта точка находится в начале координат.
Таким образом, любая частица, имеющая нулевую начальную скорость независимо от ее массы, величины и знака заряда, в скрещенных полях совершает дрейф в направлении, перпендикулярном векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$ со скоростью $V = E/B$.
Получим зависимость координат частицы от времени. Для этого "прокатим" колесо радиуса $R$ вдоль оси X (рис. 4) и выразим координаты точки на ободе колеса через угол поворота колеса $\phi = \omega t$. При качении без проскальзывания центр колеса смещается от начальной точки на расстояние, равное $R \phi$. Поэтому
$x(t) = R( \omega t — \sin \omega t)$,
$y(t) = R( 1 - \cos \omega t)$.
где $R$ и $\omega$ определены выше. Эти уравнения представляют собой параметрическое задание циклоиды.
Ответ: частица будет двигаться по циклоиде, дрейфуя в направлении, перпендикулярном векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$, со скоростью $V = E/B$.
Заряженная частица помещена без начальной скорости в область, где постоянное однородное электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны. Напряженность электрического поля равна $E$, индукция магнитного поля $B$, заряд частицы $q$, ее масса $m$. Описать движение частицы.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
рис.5
Покажем прежде всего, что траектория частицы представляет собой плоскую фигуру. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Z была направлена вдоль вектора индукции магнитного поля $\vec{B}$, а ось Y — вдоль напряженности электрического поля $\vec{E}$ (рис. 1). Начало системы координат поместим в точку, где в начальный момент покоилась частица. Покоившейся частице электрическое поле сообщает ускорение и, следовательно, скорость вдоль оси Y. Поскольку сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, перпендикулярна как индукции поля, так и скорости частицы, то она действует в плоскости XY. Другими словами, равно нулю ускорение частицы вдоль оси Z, а следовательно, и ее скорость вдоль оси Z. Таким образом, частица никогда не сможет покинуть плоскость XY. Но и в плоскости XY первоначально покоившаяся положительно заряженная частица может двигаться только в верхней полуплоскости ($Y > 0$). В этом проще всего убедиться из энергетических соображений. В самом деле, постоянное магнитное поле, действуя перпендикулярно скорости, работы не совершает, а постоянное электрическое поле потенциально. Потенциальная энергия частицы зависит только от координаты Y. В момент, когда Y-координата частицы обращается в нуль, должна обратиться в нуль и скорость частицы.
Для определения траектории частицы попробуем рассмотреть движение в другой системе отсчета, подобрав скорость новой системы так, чтобы упростить описание движения.
Заметим, что при переходе к новой системе отсчета $K^{ \prime}$, движущейся со скоростью $V (V \ll c)$ относительно системы $K$ электрическое поле $\vec{E}^{ \prime}$ и магнитное $\vec{B}^{ \prime}$ преобразуются следующим образом:
$\vec{E}^{ \prime} = \vec{E} + [ \vec{V} \vec{B}]$,
$\vec{B}^{ \prime} = \vec{B} + \frac{1}{c^{2}} [ \vec{V} \vec{E}]$.
При малых скоростях системы $K^{ \prime}$ относительно $k$ можно считать, что электрическое поле в системе $K^{ \prime}$ меняется, а магнитное поле практически остается прежним.
Можно выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в ней осталось только магнитное поле. Для этого необходимо, чтобы направления осей $K$ и $K^{ \prime}$ совпадали, а система $K^{ \prime}$ двигалась относительно $K$ вдоль оси X (рис. 2) с постоянной скоростью $V = E/B$. При этом предполагается выполненным условие $V \ll c$, что накладывает некоторое ограничение на соотношение полей $E$ и $B$. Добавочное электрическое поле $VB$, возникшее в системе $K^{ \prime}$, будет равно по величине и противоположно по направлению полю $E$. В результате в системе $K^{ \prime}$ останется только магнитное поле $B$.
Теперь возвратимся к описанию первоначально покоившейся в системе отсчета $K$ частицы и рассмотрим это движение с точки зрения наблюдателя в системе $K^{ \prime}$. Очевидно, что начальная скорость частицы в системе $K^{ \prime}$ направлена противоположно оси X и равна $E/B$ (рис. 3).
В однородном магнитном поле заряженная частица равномерно вращается по окружности, если ее начальная скорость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Масса $m$, заряд $q$, скорость частицы $V$, радиус окружности $R$ и индукция магнитного поля $B$ связаны соотношением $mV^{2}/R = qVB$. Отсюда радиус окружности $R = mE/(qB^{2})$ а угловая скорость частицы $\omega = qB/m$.
Определим теперь, как будет двигаться частица в исходной системе $K$. Очевидно, что это движение складывается из равномерного движения по окружности со скоростью $V$ и поступательного движения со скоростью $V$ вдоль оси X. Легко видеть, что точно также движется точка на ободе колеса радиуса $R$, катящегося без проскальзывания вдоль оси X, причем в начальный момент эта точка находится в начале координат.
Таким образом, любая частица, имеющая нулевую начальную скорость независимо от ее массы, величины и знака заряда, в скрещенных полях совершает дрейф в направлении, перпендикулярном векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$ со скоростью $V = E/B$.
Получим зависимость координат частицы от времени. Для этого "прокатим" колесо радиуса $R$ вдоль оси X (рис. 4) и выразим координаты точки на ободе колеса через угол поворота колеса $\phi = \omega t$. При качении без проскальзывания центр колеса смещается от начальной точки на расстояние, равное $R \phi$. Поэтому
$x(t) = R( \omega t — \sin \omega t)$,
$y(t) = R( 1 - \cos \omega t)$.
где $R$ и $\omega$ определены выше. Эти уравнения представляют собой параметрическое задание циклоиды.
Ответ: частица будет двигаться по циклоиде, дрейфуя в направлении, перпендикулярном векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$, со скоростью $V = E/B$.
