Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 214
2014-05-31 
Три точечных заряда одного знака могут свободно скользить по окружности. Два заряда находятся на одинаковом расстоянии от третьего. При каких значениях зарядов возможно равновесие?
Решение:
Пусть заряды $q_{A}, q_{B}$ и $q_{C}$ находятся соответственно в точках А, В к С окружности с центром в точке О (рис.). При этом АВ = ВС. Для равновесия системы необходимо, чтобы равнодействующие сил, приложенных к каждому заряду, были направлены вдоль прямых, соединяющих данный заряд с центром окружности. Так как геометрия расположения зарядов симметрична относительно прямой, проходящей через точки В и О, то ясно что равновесие системы будет достигаться лишь при зарядовой симметрии относительно этой же прямой, т. е. для равновесия системы необходимо выполнение равенства
$q_{A}=q_{C}$. (1)
Нетрудно сообразить, что равенство (1) является достаточным условием равновесия заряда q. Это следует из того, что при выполнении (1) векторы, изображающие силы $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$, приложенные к заряду $q_{B}$, расположены симметрично относительно прямой ВО. Их равнодействующая $\bar{R_{1}}$ направлена вдоль этой прямой. Найдем условие при соблюдении которого находится в равновесии заряд (а следовательно, в силу симметрии, и заряд $q_{C}$). Если заряд $q_{A}$ находится в равновесии, то сумма $\bar{R_{2}}$ сил $\bar{F_{3}}$ и $\bar{F_{4}}$, действующих на него со стороны двух других зарядов, направлена вдоль прямой OA, а проекции $F_{3}\sin \alpha$ и $F_{4}\sin \beta$ этих сил на направление, перпендикулярно к прямой OA, равны по величине, т. е.
$F_{3} \sin \alpha=F_{4} \sin \beta$ (2)
($\alpha$ и $\beta$ - углы, образуемые векторами $\bar{F_{3}}$ и $\bar{F_{4}}$ с направлением ОА). Величины сил $F_{3}$ и $F_{4}$ определяются равенствами
$F_{3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{(AB)^{2}}, F_{4}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{C}}{(AC)^{2}}$. (3)
Расстояния АВ и АС не независимы и связаны соотношением
$AC/2 = AB \sin \alpha$. (4)
Также не независимы и углы $\alpha$ и $\beta$. Нетрудно сообразить, чти
$\beta = \pi /2 – 2 \alpha$. (5)
С помощью системы равенств (3)-(5) условие равновесия (2) легко преобразуется к виду
$\frac{q_{B}}{q_{A}}=\frac{\sin (\pi/2 – 2 \alpha)}{4 \sin^{3} \alpha}$. ( 6)
Выясним, существует ли такое значение угла $\alpha$, при котором равенство (6) имеет место. Так как по условию задачи заряды $q_{A}$ и $q_{B}$ одного знака, то левая часть (6) всегда положительна. Правая часть положительна при $\alpha < \pi /4$. При изменении угла $\alpha$ от 0 до $\pi/4$ величина правой части (6) монотонно изменяется от $+ \inf$ до 0. Отсюда яснo, что какова бы ни была величина отношения $q_{B}/q_{A}$, среди множества значений угла $\alpha$, принадлежащих промежутку $[0,\pi/4]$, иногда найдется такое $\alpha_{0}$, при котором равенство (6) имеет место.
Итак, равновесие возможно при любых $q_{A}$ и $q_{B}$, если $q_{C} = q_{A}$
Три точечных заряда одного знака могут свободно скользить по окружности. Два заряда находятся на одинаковом расстоянии от третьего. При каких значениях зарядов возможно равновесие?
Решение:
Пусть заряды $q_{A}, q_{B}$ и $q_{C}$ находятся соответственно в точках А, В к С окружности с центром в точке О (рис.). При этом АВ = ВС. Для равновесия системы необходимо, чтобы равнодействующие сил, приложенных к каждому заряду, были направлены вдоль прямых, соединяющих данный заряд с центром окружности. Так как геометрия расположения зарядов симметрична относительно прямой, проходящей через точки В и О, то ясно что равновесие системы будет достигаться лишь при зарядовой симметрии относительно этой же прямой, т. е. для равновесия системы необходимо выполнение равенства
$q_{A}=q_{C}$. (1)
Нетрудно сообразить, что равенство (1) является достаточным условием равновесия заряда q. Это следует из того, что при выполнении (1) векторы, изображающие силы $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$, приложенные к заряду $q_{B}$, расположены симметрично относительно прямой ВО. Их равнодействующая $\bar{R_{1}}$ направлена вдоль этой прямой. Найдем условие при соблюдении которого находится в равновесии заряд (а следовательно, в силу симметрии, и заряд $q_{C}$). Если заряд $q_{A}$ находится в равновесии, то сумма $\bar{R_{2}}$ сил $\bar{F_{3}}$ и $\bar{F_{4}}$, действующих на него со стороны двух других зарядов, направлена вдоль прямой OA, а проекции $F_{3}\sin \alpha$ и $F_{4}\sin \beta$ этих сил на направление, перпендикулярно к прямой OA, равны по величине, т. е.
$F_{3} \sin \alpha=F_{4} \sin \beta$ (2)
($\alpha$ и $\beta$ - углы, образуемые векторами $\bar{F_{3}}$ и $\bar{F_{4}}$ с направлением ОА). Величины сил $F_{3}$ и $F_{4}$ определяются равенствами
$F_{3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{B}}{(AB)^{2}}, F_{4}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{A}q_{C}}{(AC)^{2}}$. (3)
Расстояния АВ и АС не независимы и связаны соотношением
$AC/2 = AB \sin \alpha$. (4)
Также не независимы и углы $\alpha$ и $\beta$. Нетрудно сообразить, чти
$\beta = \pi /2 – 2 \alpha$. (5)
С помощью системы равенств (3)-(5) условие равновесия (2) легко преобразуется к виду
$\frac{q_{B}}{q_{A}}=\frac{\sin (\pi/2 – 2 \alpha)}{4 \sin^{3} \alpha}$. ( 6)
Выясним, существует ли такое значение угла $\alpha$, при котором равенство (6) имеет место. Так как по условию задачи заряды $q_{A}$ и $q_{B}$ одного знака, то левая часть (6) всегда положительна. Правая часть положительна при $\alpha < \pi /4$. При изменении угла $\alpha$ от 0 до $\pi/4$ величина правой части (6) монотонно изменяется от $+ \inf$ до 0. Отсюда яснo, что какова бы ни была величина отношения $q_{B}/q_{A}$, среди множества значений угла $\alpha$, принадлежащих промежутку $[0,\pi/4]$, иногда найдется такое $\alpha_{0}$, при котором равенство (6) имеет место.
Итак, равновесие возможно при любых $q_{A}$ и $q_{B}$, если $q_{C} = q_{A}$
