Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2135
2017-01-19 
На рисунке показана бесконечная цепочка сопротивлений. Определите эквивалентное сопротивление между точками $a$ и $b$. Как сосчитать сопротивление конечной цепочки?
Решение:
Если число звеньев бесконечно, то удаление одного звена не меняет полного сопротивления $R_{ \infty}$. Это позволяет написать уравнение
$R_{ \infty} = R + \frac{RR_{ \infty}}{ R + R_{\infty}}$.
Для $R_{ \infty}$ получаем квадратное уравнение
$R_{ \infty}^{2} - RR_{ \infty} - R^{2} = 0$,
откуда $R_{ \infty} = (1 + \sqrt{5})R/2$.
Если цепочка конечна, то для нахождения ее сопротивления можно воспользоваться рекуррентным соотношением. Сопротивление цепочки из $n$ звеньев $R_{n}$ связано с сопротивлением цепочки из $n — 1$ звена $R_{n-1}$ следующим образом:
$R_{n} = R + \frac{R}{1 + \frac{R}{R_{n-1}}}, R_{1} = 2R$.
Таким образом, можно получить выражение для $R_{n}$ в виде дроби:
$\frac{R_{n}}{R} = \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{R}{R_{1}}}}}}$
Для $R_{ \infty}$ эта цепная дробь будет бесконечной. Интересно отметить, что
$x = \frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$.
представляет собой точное выражение для так называемого "золотого сечения". Этот термин был впервые введен Леонардо де Винчи в конце 15 века. Золотое сечение отрезка АВ — такое его деление на две части, что большая часть АС является средне пропорциональной между всем отрезком и меньшей частью:
$\frac{AC}{CB} = \frac{AB}{AC}$.
Золотое сечение широко известно как в геометрии, так и в искусстве и архитектуре. В нашем случае, как видно, параллельное подсоединение к сопротивлению $R$ бесконечной цепочки (рис.) приводит к уменьшению общего сопротивления как раз в пропорции золотого сечения.
Для величины $x$ есть и другие представления. Попробуйте, например, показать, что сопротивление бесконечной цепочки можно найти и так:
$R_{ \infty} = R \sqrt{ 1 + \sqrt{ 1 + \sqrt{ 1 + \cdots}}}$.
Ответ: $R_{ \infty} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} R$.
На рисунке показана бесконечная цепочка сопротивлений. Определите эквивалентное сопротивление между точками $a$ и $b$. Как сосчитать сопротивление конечной цепочки?
Решение:
Если число звеньев бесконечно, то удаление одного звена не меняет полного сопротивления $R_{ \infty}$. Это позволяет написать уравнение
$R_{ \infty} = R + \frac{RR_{ \infty}}{ R + R_{\infty}}$.
Для $R_{ \infty}$ получаем квадратное уравнение
$R_{ \infty}^{2} - RR_{ \infty} - R^{2} = 0$,
откуда $R_{ \infty} = (1 + \sqrt{5})R/2$.
Если цепочка конечна, то для нахождения ее сопротивления можно воспользоваться рекуррентным соотношением. Сопротивление цепочки из $n$ звеньев $R_{n}$ связано с сопротивлением цепочки из $n — 1$ звена $R_{n-1}$ следующим образом:
$R_{n} = R + \frac{R}{1 + \frac{R}{R_{n-1}}}, R_{1} = 2R$.
Таким образом, можно получить выражение для $R_{n}$ в виде дроби:
$\frac{R_{n}}{R} = \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{R}{R_{1}}}}}}$
Для $R_{ \infty}$ эта цепная дробь будет бесконечной. Интересно отметить, что
$x = \frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$.
представляет собой точное выражение для так называемого "золотого сечения". Этот термин был впервые введен Леонардо де Винчи в конце 15 века. Золотое сечение отрезка АВ — такое его деление на две части, что большая часть АС является средне пропорциональной между всем отрезком и меньшей частью:
$\frac{AC}{CB} = \frac{AB}{AC}$.
Золотое сечение широко известно как в геометрии, так и в искусстве и архитектуре. В нашем случае, как видно, параллельное подсоединение к сопротивлению $R$ бесконечной цепочки (рис.) приводит к уменьшению общего сопротивления как раз в пропорции золотого сечения.
Для величины $x$ есть и другие представления. Попробуйте, например, показать, что сопротивление бесконечной цепочки можно найти и так:
$R_{ \infty} = R \sqrt{ 1 + \sqrt{ 1 + \sqrt{ 1 + \cdots}}}$.
Ответ: $R_{ \infty} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} R$.
