Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2134
2017-01-19 
Определить сопротивление $R_{ab}$ между точками $a$ и $b$ в схеме, изображенной на рисунке. Сопротивление каждого звена равно $r$.
Решение:
Обозначим через $I_{1}, I_{2}, \cdots ,I_{9}$ токи, возникающие в схеме при подключении ее к источнику с напряжением $U$ (рис.). Тогда, написав систему уравнений для токов $I_{i}$ и вычислив полный ток $I = I_{1} + I_{2}$, можно определить общее сопротивление из соотношения $R_{AB} = U/I$. Поскольку число неизвестных токов равно 9, система для их определения также должна состоять из 9 уравнений. Можно, однако, воспользовавшись симметрией системы, уменьшить число неизвестных и уравнений. Для этого изменим мысленно полярность подключения источника. Тогда с одной стороны, направление токов в каждом звене изменится на противоположное, с другой — схема после поворота перейдет в себя, причем $I_{1}$ перейдет в $I_{9}, I_{2}$ — в $I_{8}, I_{3}$ — в $I_{7}, I_{4}$ — в $i_{6}$. Поскольку схема не изменилась, указанные токи должны быть равны. Число неизвестных, таким образом, уменьшается до пяти. Уравнения законов Кирхгофа запишем в виде:
$I_{1} = I_{3} + I_{4} + I_{5}$ (узел С);
$I_{4} = I_{2} + I_{3}$ (узел D);
$I_{1} + I_{3} - I_{2} = 0$ (контур ACD);
$I_{5} - I_{3} - I_{4} = 0$ (контур СFD);
$I_{1} + I_{2} + I_{4} = U/R$ (контур ACEB - источник).
Подставляя в первое уравнение последовательно $I_{5}$ из четвертого, $I_{4}$ из второго и $I_{3}$ из третьего, получаем:
$I_{1} = 2(I_{3} + I_{4}) = 2(I_{2} + 2 I_{3}) = 2 (I_{2} + 2(I_{2} - I_{1})) = 6I_{2} - 4I_{1}$.
Откуда $I_{1} = (6/5)I_{2}$.
Теперь из третьего уравнения системы находим
$I_{3} = I_{2} - I_{1} = - \frac{1}{5} I_{2}$.
Знак "—" означает, что направление тока $I_{3}$ противоположно изображенному на рисунке. Аналогично выражаем ток $I_{4}$ через $I_{2}$:
$I_{4} = I_{2} + I_{3} = \frac{4}{5} I_{2}$.
Теперь определим из последнего уравнения системы $I_{2}$:
$I_{2} + \frac{4}{5} I_{2} + \frac{6}{5} I_{2} = \frac{U}{r}$, т. е. $I_{2} = \frac{U}{3r}$.
Полный ток $I = \frac{U}{R} \left ( \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \right ) = \frac{11}{15} \frac{U}{r}$.
Таким образом, сопротивление $R_{AB} = \frac{U}{I} = 1 \frac{4}{11}r$.
Ответ: $R_{AB} = 1 \frac{4}{11}r$.
Определить сопротивление $R_{ab}$ между точками $a$ и $b$ в схеме, изображенной на рисунке. Сопротивление каждого звена равно $r$.
Решение:
Обозначим через $I_{1}, I_{2}, \cdots ,I_{9}$ токи, возникающие в схеме при подключении ее к источнику с напряжением $U$ (рис.). Тогда, написав систему уравнений для токов $I_{i}$ и вычислив полный ток $I = I_{1} + I_{2}$, можно определить общее сопротивление из соотношения $R_{AB} = U/I$. Поскольку число неизвестных токов равно 9, система для их определения также должна состоять из 9 уравнений. Можно, однако, воспользовавшись симметрией системы, уменьшить число неизвестных и уравнений. Для этого изменим мысленно полярность подключения источника. Тогда с одной стороны, направление токов в каждом звене изменится на противоположное, с другой — схема после поворота перейдет в себя, причем $I_{1}$ перейдет в $I_{9}, I_{2}$ — в $I_{8}, I_{3}$ — в $I_{7}, I_{4}$ — в $i_{6}$. Поскольку схема не изменилась, указанные токи должны быть равны. Число неизвестных, таким образом, уменьшается до пяти. Уравнения законов Кирхгофа запишем в виде:
$I_{1} = I_{3} + I_{4} + I_{5}$ (узел С);
$I_{4} = I_{2} + I_{3}$ (узел D);
$I_{1} + I_{3} - I_{2} = 0$ (контур ACD);
$I_{5} - I_{3} - I_{4} = 0$ (контур СFD);
$I_{1} + I_{2} + I_{4} = U/R$ (контур ACEB - источник).
Подставляя в первое уравнение последовательно $I_{5}$ из четвертого, $I_{4}$ из второго и $I_{3}$ из третьего, получаем:
$I_{1} = 2(I_{3} + I_{4}) = 2(I_{2} + 2 I_{3}) = 2 (I_{2} + 2(I_{2} - I_{1})) = 6I_{2} - 4I_{1}$.
Откуда $I_{1} = (6/5)I_{2}$.
Теперь из третьего уравнения системы находим
$I_{3} = I_{2} - I_{1} = - \frac{1}{5} I_{2}$.
Знак "—" означает, что направление тока $I_{3}$ противоположно изображенному на рисунке. Аналогично выражаем ток $I_{4}$ через $I_{2}$:
$I_{4} = I_{2} + I_{3} = \frac{4}{5} I_{2}$.
Теперь определим из последнего уравнения системы $I_{2}$:
$I_{2} + \frac{4}{5} I_{2} + \frac{6}{5} I_{2} = \frac{U}{r}$, т. е. $I_{2} = \frac{U}{3r}$.
Полный ток $I = \frac{U}{R} \left ( \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \right ) = \frac{11}{15} \frac{U}{r}$.
Таким образом, сопротивление $R_{AB} = \frac{U}{I} = 1 \frac{4}{11}r$.
Ответ: $R_{AB} = 1 \frac{4}{11}r$.
