Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2133
2017-01-19 
Рассчитайте полное сопротивление проволочного куба, каждое ребро которого имеет сопротивление $r$, если он подключен к источнику
а) по главной диагонали куба;
б) по диагонали грани;
в) вдоль ребра.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
На рис. 1 все вершины куба пронумерованы. Симметрия системы позволяет утверждать, что некоторые вершины будут иметь один и тот же потенциал. Это позволяет в каждом случае свести задачу к расчету эквивалентной схемы, содержащей только последовательно и параллельно соединенные сопротивления.
а) Напряжение приложено к вершинам / и 8. В этом случае одинаковы потенциалы вершин 2, 3, 4, поскольку при повороте куба на угол $120^{ \circ}$ вокруг главной диагонали они переходят друг в друга, а сам куб переходит в себя (отвернувшийся на минуту человек не сможет определить, повернули мы куб или нет). Аналогично, одинаковый потенциал имеют вершины 5, 6, 7. Точки с одинаковым потенциалом можно замкнуть накоротко. Эквивалентная схема имеет вид, представленный на рис. 2. Очевидно, что $R = r/3 + r/6 + r/3 = (5/6)r$.
К тому же результату можно прийти иначе, если заметить, что из-за симметрии подключения вершин куба токи в ребрах 1-2, 1-3 и 1-4 одинаковы и составляют 1/3 тока $I$ в неразветвленной части цепи. Точно также одинаковы и равны $I/3$ токи в ребрах 5-8, 6-8, 7-8, а токи в ребрах 2-7 и 2-6 составляют половину тока в ребре 1-2 и, следовательно, равны $I/6$. Запишем теперь напряжение между точками 1 и 8 в виде
$U = \phi_{8} \phi_{1} = \phi_{8} - \phi_{7} + \phi_{7} - \phi_{2} + \phi_{2} - \phi_{1} = \frac{I}{3} r + \frac{I}{6} r + \frac{I}{3} r = \frac{5}{6} Ir$
Теперь для $R$ получаем: $R = U/I = (5/6)r$.
б) Напряжение приложено между точками 1 и 5. Теперь одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6-7. Эквивалентная схема показана на рис. 3. Очевидно, что и сопротивления, соединяющие точки 3-4 и 6-7, могут быть удалены без изменения полного сопротивления, поскольку потенциалы этих точек тоже оказываются одинаковыми. Теперь полное сопротивление легко сосчитать: $R = = (3/4)r$.
в) Напряжение приложено между точками 1 и 2. Снова одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6-7. Эквивалентная схема приведена на рис. 4. Используя формулы для параллельного и последовательного соединения сопротивлений, получаем $R = (7/12)r$.
Ответ: а) $R = (5/6)r$; б) $R = (3/4)r$ в) $R = (7/12)r$.
Рассчитайте полное сопротивление проволочного куба, каждое ребро которого имеет сопротивление $r$, если он подключен к источнику
а) по главной диагонали куба;
б) по диагонали грани;
в) вдоль ребра.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
рис.4
На рис. 1 все вершины куба пронумерованы. Симметрия системы позволяет утверждать, что некоторые вершины будут иметь один и тот же потенциал. Это позволяет в каждом случае свести задачу к расчету эквивалентной схемы, содержащей только последовательно и параллельно соединенные сопротивления.
а) Напряжение приложено к вершинам / и 8. В этом случае одинаковы потенциалы вершин 2, 3, 4, поскольку при повороте куба на угол $120^{ \circ}$ вокруг главной диагонали они переходят друг в друга, а сам куб переходит в себя (отвернувшийся на минуту человек не сможет определить, повернули мы куб или нет). Аналогично, одинаковый потенциал имеют вершины 5, 6, 7. Точки с одинаковым потенциалом можно замкнуть накоротко. Эквивалентная схема имеет вид, представленный на рис. 2. Очевидно, что $R = r/3 + r/6 + r/3 = (5/6)r$.
К тому же результату можно прийти иначе, если заметить, что из-за симметрии подключения вершин куба токи в ребрах 1-2, 1-3 и 1-4 одинаковы и составляют 1/3 тока $I$ в неразветвленной части цепи. Точно также одинаковы и равны $I/3$ токи в ребрах 5-8, 6-8, 7-8, а токи в ребрах 2-7 и 2-6 составляют половину тока в ребре 1-2 и, следовательно, равны $I/6$. Запишем теперь напряжение между точками 1 и 8 в виде
$U = \phi_{8} \phi_{1} = \phi_{8} - \phi_{7} + \phi_{7} - \phi_{2} + \phi_{2} - \phi_{1} = \frac{I}{3} r + \frac{I}{6} r + \frac{I}{3} r = \frac{5}{6} Ir$
Теперь для $R$ получаем: $R = U/I = (5/6)r$.
б) Напряжение приложено между точками 1 и 5. Теперь одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6-7. Эквивалентная схема показана на рис. 3. Очевидно, что и сопротивления, соединяющие точки 3-4 и 6-7, могут быть удалены без изменения полного сопротивления, поскольку потенциалы этих точек тоже оказываются одинаковыми. Теперь полное сопротивление легко сосчитать: $R = = (3/4)r$.
в) Напряжение приложено между точками 1 и 2. Снова одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6-7. Эквивалентная схема приведена на рис. 4. Используя формулы для параллельного и последовательного соединения сопротивлений, получаем $R = (7/12)r$.
Ответ: а) $R = (5/6)r$; б) $R = (3/4)r$ в) $R = (7/12)r$.
