2014-05-31
В сосуде высотой $h$ находится очень вязкая жидкость с плотностью $\rho$. От дна сосуда отрывается и медленно всплывает маленький пузырек воздуха с начальным объемом $V_{1}$. Какое количество теплоты получит жидкость за время подъема пузырька? Атмосферное давление равно $p_{0}$. Теплообменом со стенками сосуда и окружающий воздухом пренебречь.
Решение:
Так как пузырек маленький, т. е. объем жидкости очень велик, то при всплытии пузырька температура жидкости не изменяется. Система равновесна, поэтому и температура пузырька будет постоянна. Кинетической энергией пузырька и окружающих слоев жидкости можно пренебречь, так как, по условию задачи, пуэырек всплывает медленно. При подъеме пузырька потенциальная энергия жидкости уменьшается на
$\Delta U = \rho ghV_{1}$. (1)
Эта энергия переходит в тепло.
В тепло переходит также работа пузырька по расширению. Найдем ее.
При подъеме пузырька давление воздуха в нем изменяется на $\Delta p = - \rho gh$ (знак минус говорит о том, что давление воздуха в пузырьке при подъеме уменьшается), а его объем увеличивается на $\Delta V$.
Так как процесс изотермический, по закону Бойля-Мариотта имеем
$pV=(p_{0}+ \rho gh)V_{1}=p_{0}(V_{1}+\Delta V)$.
Отсюда находим изменение объема пузырька
$\Delta V = \frac{\rho gh}{p_{0}}V_{1}$.
При малом расширении пузырька на $\delta V$ при давлении $p$ совершается элементарная работа
$\delta A=p \delta V = \frac{V_{1}}{V}(p_{0}+\rho gh) \delta V$.
Суммируя элементарные работы на всем изменении объема от $V_{1}$ до $V_{0}$, получаем
$\Delta A = V_{1} \rho gh \left ( 1+ \frac{p_{0}}{\rho gh} \right ) \int^{V_{0}}_{V_{1}} = V_{1} \rho gh \left ( 1+ \frac{p_{0}}{\rho gh} \right ) ln \frac{V_{0}}{V_{1}} = V_{1} \rho gh \left ( 1+ \frac{p_{0}}{\rho gh} \right ) ln \left ( 1+ \frac{\rho gh}{p_{0}} \right )$ (2)
Добавляя к работе (2) изменение потенциальной энергии жидкости (1), находим полное выделившееся тепло
$Q=V_{1} \rho gh \left [ 1+ \left ( 1+ \frac{p_{0}}{\rho gh} \right ) ln \left ( 1+ \frac{\rho gh}{p_{0}} \right ) \right ]$. (3)
В нормальных условиях высота сосуда мала ($\rho gh \ll p_{0}$). В этом случае можно в формуле (3) рассмотреть предел при $h \rightarrow 0$:
$Q \rightarrow 2V_{1} \rho gh$.
Видим, что в пределе оба рассмотренных выше эффекта (уменьшение потенциальной энергии жидкости и расширение пузырька) приводят к одинаковым результатам и пренебрегать одним из эффектов по сравнению с другим в данном случае нельзя.
Противоположный предел при $h \rightarrow \inf$ дает следующий результат:
$Q \rightarrow V_{1} \rho gh \left ( 1+ln\frac{\rho gh}{p_{0}} \right )$
И в этом случае нельзя пренебречь единицей по сравнению с логарифмом в круглых скобках, так как логарифм - медленно растущая функция. Для подъема пузырька воздуха в воде со дна самой глубокой впадины Мирового океана (10 км) второе (логарифмическое) слагаемое в круглых скобках равно всего 3.