Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2122
2017-01-16 
Заряженный металлический шар радиусом $R$ разрезан на две части плоскостью, проходящей на расстоянии $h$ от центра шара. С какой силой $F$ отталкиваются друг от друга эти части? Полный заряд шара равен $Q$.
Решение:
Ответ: $F = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{8R^{2}} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$.
Будем для определенности считать, что шар заряжен положительно. Заряд металлического шара $Q$ при отсутствии поблизости других заряженных или незаряженных тел будет равномерно распределен по поверхности. При этом поверхностная плотность заряда $\sigma$ во всех точках одинакова и равна
$\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^{2}}$.
Из симметрии очевидно, что электрическая сила $\Delta F$, действующая на каждый элемент $\Delta S$ заряженной поверхности, направлена по нормали к этой поверхности. Чтобы найти эту силу, достаточно определить напряженность электрического поля, создаваемого в том месте, где находится выделенный элемент поверхности $\Delta S$, всей остальной частью заряженного шара.
Напряженность электрического поля вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центр шара. Поэтому непосредственно у поверхности шара модуль напряженности
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{R^{2}} = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$.
Согласно принципу суперпозиции, это поле можно рассматривать как векторную сумму полей, создаваемых выделенным элементом поверхности $\Delta S$ и всей остальной частью шара. Так как нас интересует напряженность поля непосредственно у поверхности шара, то элемент $\Delta S$ можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением для поля равномерно заряженной плоскости. Это поле существует по обе стороны от плоскости и модуль его напряженности
$E_{1} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0}}$.
Внутри шара, вплоть до его поверхности, результирующая напряженность поля равна нулю. Значит, внутри шара вблизи элемента $\Delta S$ поле этого элемента, направленное внутрь шара, компенсируется полем, создаваемым всей остальной частью шара. Таким образом, в месте расположения элемента $\Delta S$ вся остальная часть заряженного шара создает электрическое поле $\vec{E}_{2}$, направленное наружу, причем модуль напряженности $E_{2}$ равен $E_{1}$. Снаружи это поле $\vec{E}_{2}$ направлено в ту же сторону что и поле элемента $\Delta S$, и, складываясь с ним, дает поле, напряженность которого вдвое больше: $E = 2E_{1}$.
Сила, действующая на элемент $\Delta S$, равна произведению заряда этого элемента $\sigma \Delta S$ на напряженность поля $E_{2} = \sigma /(2 \epsilon_{0})$:
$\Delta F = \frac{ \sigma^{2}}{ 2 \epsilon_{0}} \Delta S$.
Сила, действующая на единицу площади поверхности по нормали к ней, представляет собой давление $p$, для которого получаем:
$P = \frac{ \Delta F}{ \Delta S} = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$.
Для определения равнодействующей $F$ сил электрического давления, действующих на каждую из частей шара, представим себе жесткие полые оболочки, имеющие точно такую же форму, что и части шара, и закрытые плоскими крышками, как показано на рис.. Если внутри таких оболочек находится газ под давлением $p$, то сила давления этого газа на крышку оболочки совпадает с интересующей нас силой $F$. В самом деле, так как сила давления газа не может привести в движение всей оболочки как целого, равнодействующая сил давления на стенки равна нулю. Поэтому сила, действующая на крышку, полностью компенсирует сумму сил давления, действующих на остальную часть. Следовательно, $F = PS$, где $S = \pi (r^{2} - h^{2})$ — площадь крышки. Таким образом,
$F = PS = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \pi R^{2} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$.
Подставляя в это выражение значение поверхностной плотности заряда $\sigma$, получаем
$F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{8R^{2}} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$.
Сила отталкивания будет наибольшей, когда шар разрезан по диаметру ($h = 0$). Обратим внимание на то, что взаимодействие частей разрезанного шара всегда носит характер отталкивания, независимо от того, заряжен шар положительно или отрицательно, как это очевидно и из качественных соображений.
Давление $p$ можно найти и иначе, используя закон сохранения и изменения энергии. Предположим, что радиус шара увеличился на малую величину $\Delta r$. При этом электрические силы совершат работу, равную $P \Delta V$, где $\Delta V$ — увеличение объема шара, а энергия электрического поля, созданного заряженным шаром, изменится. При увеличении радиуса шара энергия электрического поля убывает, поскольку уменьшается объем, занимаемый полем. Это уменьшение равно произведению объемной плотности энергии электрического поля $w = \epsilon_{0}E^{2}/2$ на изменение объема шара $\Delta V$. Приравнивая работу электрических сил уменьшению энергии $P \Delta V = \epsilon_{0} E^{2} \Delta V/2$ и подставляя сюда значение $E = \sigma / \epsilon_{0}$, получаем $P = \sigma^{2}/(2 \epsilon_{0})$, что совпадает с полученным выше выражением.
Заряженный металлический шар радиусом $R$ разрезан на две части плоскостью, проходящей на расстоянии $h$ от центра шара. С какой силой $F$ отталкиваются друг от друга эти части? Полный заряд шара равен $Q$.
Решение:
Ответ: $F = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{8R^{2}} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$.
Будем для определенности считать, что шар заряжен положительно. Заряд металлического шара $Q$ при отсутствии поблизости других заряженных или незаряженных тел будет равномерно распределен по поверхности. При этом поверхностная плотность заряда $\sigma$ во всех точках одинакова и равна
$\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^{2}}$.
Из симметрии очевидно, что электрическая сила $\Delta F$, действующая на каждый элемент $\Delta S$ заряженной поверхности, направлена по нормали к этой поверхности. Чтобы найти эту силу, достаточно определить напряженность электрического поля, создаваемого в том месте, где находится выделенный элемент поверхности $\Delta S$, всей остальной частью заряженного шара.
Напряженность электрического поля вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центр шара. Поэтому непосредственно у поверхности шара модуль напряженности
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{R^{2}} = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$.
Согласно принципу суперпозиции, это поле можно рассматривать как векторную сумму полей, создаваемых выделенным элементом поверхности $\Delta S$ и всей остальной частью шара. Так как нас интересует напряженность поля непосредственно у поверхности шара, то элемент $\Delta S$ можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением для поля равномерно заряженной плоскости. Это поле существует по обе стороны от плоскости и модуль его напряженности
$E_{1} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0}}$.
Внутри шара, вплоть до его поверхности, результирующая напряженность поля равна нулю. Значит, внутри шара вблизи элемента $\Delta S$ поле этого элемента, направленное внутрь шара, компенсируется полем, создаваемым всей остальной частью шара. Таким образом, в месте расположения элемента $\Delta S$ вся остальная часть заряженного шара создает электрическое поле $\vec{E}_{2}$, направленное наружу, причем модуль напряженности $E_{2}$ равен $E_{1}$. Снаружи это поле $\vec{E}_{2}$ направлено в ту же сторону что и поле элемента $\Delta S$, и, складываясь с ним, дает поле, напряженность которого вдвое больше: $E = 2E_{1}$.
Сила, действующая на элемент $\Delta S$, равна произведению заряда этого элемента $\sigma \Delta S$ на напряженность поля $E_{2} = \sigma /(2 \epsilon_{0})$:
$\Delta F = \frac{ \sigma^{2}}{ 2 \epsilon_{0}} \Delta S$.
Сила, действующая на единицу площади поверхности по нормали к ней, представляет собой давление $p$, для которого получаем:
$P = \frac{ \Delta F}{ \Delta S} = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$.
Для определения равнодействующей $F$ сил электрического давления, действующих на каждую из частей шара, представим себе жесткие полые оболочки, имеющие точно такую же форму, что и части шара, и закрытые плоскими крышками, как показано на рис.. Если внутри таких оболочек находится газ под давлением $p$, то сила давления этого газа на крышку оболочки совпадает с интересующей нас силой $F$. В самом деле, так как сила давления газа не может привести в движение всей оболочки как целого, равнодействующая сил давления на стенки равна нулю. Поэтому сила, действующая на крышку, полностью компенсирует сумму сил давления, действующих на остальную часть. Следовательно, $F = PS$, где $S = \pi (r^{2} - h^{2})$ — площадь крышки. Таким образом,
$F = PS = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \pi R^{2} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$.
Подставляя в это выражение значение поверхностной плотности заряда $\sigma$, получаем
$F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{8R^{2}} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$.
Сила отталкивания будет наибольшей, когда шар разрезан по диаметру ($h = 0$). Обратим внимание на то, что взаимодействие частей разрезанного шара всегда носит характер отталкивания, независимо от того, заряжен шар положительно или отрицательно, как это очевидно и из качественных соображений.
Давление $p$ можно найти и иначе, используя закон сохранения и изменения энергии. Предположим, что радиус шара увеличился на малую величину $\Delta r$. При этом электрические силы совершат работу, равную $P \Delta V$, где $\Delta V$ — увеличение объема шара, а энергия электрического поля, созданного заряженным шаром, изменится. При увеличении радиуса шара энергия электрического поля убывает, поскольку уменьшается объем, занимаемый полем. Это уменьшение равно произведению объемной плотности энергии электрического поля $w = \epsilon_{0}E^{2}/2$ на изменение объема шара $\Delta V$. Приравнивая работу электрических сил уменьшению энергии $P \Delta V = \epsilon_{0} E^{2} \Delta V/2$ и подставляя сюда значение $E = \sigma / \epsilon_{0}$, получаем $P = \sigma^{2}/(2 \epsilon_{0})$, что совпадает с полученным выше выражением.
