Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2121
2017-01-16 
Четыре одинаковых проводящих шара радиусом $R$, центры которых совпадают с вершинами квадрата со стороной а, находятся в воздухе (см. рис.). Одному из шаров сообщили заряд. После этого заряженный шар соединили на некоторое время металлической проволокой поочередно с каждым из незаряженных шаров (в циклическом порядке). Определить, как распределится заряд между всеми шарами, если $a \gg R$.
Решение:
Ответ: $q_{1} = \frac{q}{8} \left ( 1 - \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right ) q_{2} = \frac{q}{2}; q_{3} = \frac{q}{4}; q_{4} = \frac{q}{8} \left ( 1 + \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right )$
После соединения первого и второго шара их потенциалы должны стать одинаковыми. Следовательно, на второй шар перейдет половина заряда: $q_{2} = q/2$. После соединения первого и третьего шара выравняются потенциалы этих шаров. Эти потенциалы создаются как зарядами на самих шарах, так и зарядом, появившимся на втором шаре. Однако заряды второго шара создают одинаковый потенциал на первом и третьем шарах. Поэтому с первого шара на третий снова перейдет ровно половина заряда: $q_{3} = q/4$. Условие равенства потенциалов первого и четвертого шара после их соединения проводником выглядит немного более сложно:
$\frac{q_{1}}{R} + \frac{q_{2}}{a} + \frac{q_{3}}{ a \sqrt{2}} + \frac{q_{4}}{a} = \frac{q_{1}}{a} + \frac{q_{2}}{a \sqrt{2}} + \frac{q_{3}}{a} + \frac{q_{4}}{R}$.
Отсюда
$q_{1} - q_{4} = \frac{q_{3} - q_{2}}{a/R - 1} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right )$.
С другой стороны $q_{1} + q_{4} = q/4$. Подставляя найденные выше $q_{2}$ и $q_{3}$, находим:
$q_{1} = \frac{q}{8} \left ( 1 - \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right ); q_{4} = \frac{q}{8} \left ( 1 + \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right )$
Четыре одинаковых проводящих шара радиусом $R$, центры которых совпадают с вершинами квадрата со стороной а, находятся в воздухе (см. рис.). Одному из шаров сообщили заряд. После этого заряженный шар соединили на некоторое время металлической проволокой поочередно с каждым из незаряженных шаров (в циклическом порядке). Определить, как распределится заряд между всеми шарами, если $a \gg R$.
Решение:
Ответ: $q_{1} = \frac{q}{8} \left ( 1 - \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right ) q_{2} = \frac{q}{2}; q_{3} = \frac{q}{4}; q_{4} = \frac{q}{8} \left ( 1 + \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right )$
После соединения первого и второго шара их потенциалы должны стать одинаковыми. Следовательно, на второй шар перейдет половина заряда: $q_{2} = q/2$. После соединения первого и третьего шара выравняются потенциалы этих шаров. Эти потенциалы создаются как зарядами на самих шарах, так и зарядом, появившимся на втором шаре. Однако заряды второго шара создают одинаковый потенциал на первом и третьем шарах. Поэтому с первого шара на третий снова перейдет ровно половина заряда: $q_{3} = q/4$. Условие равенства потенциалов первого и четвертого шара после их соединения проводником выглядит немного более сложно:
$\frac{q_{1}}{R} + \frac{q_{2}}{a} + \frac{q_{3}}{ a \sqrt{2}} + \frac{q_{4}}{a} = \frac{q_{1}}{a} + \frac{q_{2}}{a \sqrt{2}} + \frac{q_{3}}{a} + \frac{q_{4}}{R}$.
Отсюда
$q_{1} - q_{4} = \frac{q_{3} - q_{2}}{a/R - 1} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right )$.
С другой стороны $q_{1} + q_{4} = q/4$. Подставляя найденные выше $q_{2}$ и $q_{3}$, находим:
$q_{1} = \frac{q}{8} \left ( 1 - \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right ); q_{4} = \frac{q}{8} \left ( 1 + \frac{R}{a-R} \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2}}{2} \right ) \right )$
