Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2118
2017-01-16 
Определить напряженность электрического поля на оси однородно заряженного с плотностью $\rho_{S}$ диска радиуса $R$, рассматривая это поле как суперпозицию полей колец разного радиуса. Показать, что на больших расстояниях поле диска совпадает с полем точечного заряда.
Решение:
$E = \frac{ \rho_{S}}{ 2 \epsilon_{0}} \left ( 1 - \frac{x}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}} \right )$, где $x$ — расстояние до плоскости диска. При $x \rightarrow \infty$ имеем:
$E = \frac{ \rho_{S}}{2 \epsilon_{0}} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{1 + R^{2}/x^{2}}} \right ) \approx \frac{ \rho_{S}}{2 \epsilon_{0}} \cdot \frac{R^{2}}{2x^{2}}$.
Здесь использованы приближенные разложения:
$\sqrt{ 1 + \alpha} \cong 1 + \frac{ \alpha}{2}$ и $\frac{1}{1 + \alpha} \cong 1 - \alpha$,
справедливые при малых $\alpha$. Учитывая, что заряд диска $Q = \pi R^{2} \rho_{S}$, получаем $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{x^{2}}$ — напряженность поля точечного заряда.
Определить напряженность электрического поля на оси однородно заряженного с плотностью $\rho_{S}$ диска радиуса $R$, рассматривая это поле как суперпозицию полей колец разного радиуса. Показать, что на больших расстояниях поле диска совпадает с полем точечного заряда.
Решение:
$E = \frac{ \rho_{S}}{ 2 \epsilon_{0}} \left ( 1 - \frac{x}{ \sqrt{R^{2} + x^{2}}} \right )$, где $x$ — расстояние до плоскости диска. При $x \rightarrow \infty$ имеем:
$E = \frac{ \rho_{S}}{2 \epsilon_{0}} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{1 + R^{2}/x^{2}}} \right ) \approx \frac{ \rho_{S}}{2 \epsilon_{0}} \cdot \frac{R^{2}}{2x^{2}}$.
Здесь использованы приближенные разложения:
$\sqrt{ 1 + \alpha} \cong 1 + \frac{ \alpha}{2}$ и $\frac{1}{1 + \alpha} \cong 1 - \alpha$,
справедливые при малых $\alpha$. Учитывая, что заряд диска $Q = \pi R^{2} \rho_{S}$, получаем $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{x^{2}}$ — напряженность поля точечного заряда.
