Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2116
2017-01-16 
Внутри гладкой непроводящей сферы радиуса $R$ находится маленький шарик с зарядом $q$ и массой $m$ (см. рис.). В нижней точке сферы закреплен заряд $Q$.
а) Чему равна величина этого заряда, если шарик покоится, находясь в такой точке, что проведенный через нее радиус составляет тупой угол $\theta$ с вертикалью? Устойчиво ли равновесие заряда $q$?
б) Какой заряд $Q_{0}$ нужно закрепить в нижней точке сферы, чтобы шарик удерживался в верхней точке сферы?
Решение:
Силы, действующие на шарик, показаны на рис.. Заметим, что сила реакции опоры $\vec{N}$ не может обратиться в нуль. В противном случае горизонтальная составляющая силы кулоновского отталкивания $\vec{F}$ останется неуравновешенной. Для определения величины $\vec{N}$ рассмотрим моменты действующих на заряд $q$ сил относительно оси, проходящей через нижнюю точку сферы В перпендикулярно плоскости рисунка. Очевидно, что момент силы $\vec{F}$ нулю, а плечи силы $\vec{N} (BC)$ и силы $m \vec{g} (BD)$ равны. Поэтому в равновесии $N = mg$. Условие равенства нулю векторной суммы сил, действующих на заряд, позволяет определить силу $\vec{F}$. В проекции на направление действия силы $\vec{F}$ имеем:
$F = mg \cos \alpha + N \cos \alpha = 2mg \cos \alpha = 2mg \sin \frac{ \theta}{2}$. (1)
Записывая модуль силы кулоновского взаимодействия зарядов $q$ и $Q$:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{4R^{2} \sin^{2} \theta}$ (2)
и приравнивая (1) и (2), получаем
$Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$. (3)
Выясним, будет ли положение заряда $q$ устойчивым. Поскольку модуль силы реакции опоры $\vec{N}$ в равновесии всегда отличен от нуля (равен $mg$), то при выведении шарика из положения равновесия в вертикальной плоскости таким образом, чтобы $N$ обратилась в нуль, результирующая сил $\vec{F}$ и $m \vec{g}$ будет прижимать шарик к поверхности сферы. При смещении шарика из положения равновесия вниз кулоновская сила $\vec{F}$ возрастает, что ведет к увеличению силы реакции опоры $\vec{N}$. Плечи сил $m \vec{g}$ и $\vec{N}$ одинаковы при любом положении заряда $q$ на сфере. Так как сила тяжести $m \vec{g}$ не изменилась, то момент силы реакции $\vec{N}$ станет больше момента силы тяжести и шарик вернется в состояние равновесия. Аналогично можно убедиться, что шарик будет возвращаться в положение равновесия и при смещении по поверхности сферы вверх. Таким образом, положение равновесия устойчиво.
Для определения заряда $Q_{0}$, при котором заряд $q$ будет находиться в верхней точке сферы, достаточно положить в (3) $\theta = \pi$:
$Q_{0} \geq \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q}$.
Отметим, что при этом кулоновская сила $F$ по меньшей мере в два раза больше силы тяжести $mg$. В равновесии в верхней точке заряд будет находиться и в случае $mg < F < 2mg$. Однако при этом равновесие будет неустойчивым.
Ответ: a) $Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$ Равновесие устойчиво.
б) $Q_{0} \geq \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q}$
Внутри гладкой непроводящей сферы радиуса $R$ находится маленький шарик с зарядом $q$ и массой $m$ (см. рис.). В нижней точке сферы закреплен заряд $Q$.
а) Чему равна величина этого заряда, если шарик покоится, находясь в такой точке, что проведенный через нее радиус составляет тупой угол $\theta$ с вертикалью? Устойчиво ли равновесие заряда $q$?
б) Какой заряд $Q_{0}$ нужно закрепить в нижней точке сферы, чтобы шарик удерживался в верхней точке сферы?
Решение:
Силы, действующие на шарик, показаны на рис.. Заметим, что сила реакции опоры $\vec{N}$ не может обратиться в нуль. В противном случае горизонтальная составляющая силы кулоновского отталкивания $\vec{F}$ останется неуравновешенной. Для определения величины $\vec{N}$ рассмотрим моменты действующих на заряд $q$ сил относительно оси, проходящей через нижнюю точку сферы В перпендикулярно плоскости рисунка. Очевидно, что момент силы $\vec{F}$ нулю, а плечи силы $\vec{N} (BC)$ и силы $m \vec{g} (BD)$ равны. Поэтому в равновесии $N = mg$. Условие равенства нулю векторной суммы сил, действующих на заряд, позволяет определить силу $\vec{F}$. В проекции на направление действия силы $\vec{F}$ имеем:
$F = mg \cos \alpha + N \cos \alpha = 2mg \cos \alpha = 2mg \sin \frac{ \theta}{2}$. (1)
Записывая модуль силы кулоновского взаимодействия зарядов $q$ и $Q$:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{4R^{2} \sin^{2} \theta}$ (2)
и приравнивая (1) и (2), получаем
$Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$. (3)
Выясним, будет ли положение заряда $q$ устойчивым. Поскольку модуль силы реакции опоры $\vec{N}$ в равновесии всегда отличен от нуля (равен $mg$), то при выведении шарика из положения равновесия в вертикальной плоскости таким образом, чтобы $N$ обратилась в нуль, результирующая сил $\vec{F}$ и $m \vec{g}$ будет прижимать шарик к поверхности сферы. При смещении шарика из положения равновесия вниз кулоновская сила $\vec{F}$ возрастает, что ведет к увеличению силы реакции опоры $\vec{N}$. Плечи сил $m \vec{g}$ и $\vec{N}$ одинаковы при любом положении заряда $q$ на сфере. Так как сила тяжести $m \vec{g}$ не изменилась, то момент силы реакции $\vec{N}$ станет больше момента силы тяжести и шарик вернется в состояние равновесия. Аналогично можно убедиться, что шарик будет возвращаться в положение равновесия и при смещении по поверхности сферы вверх. Таким образом, положение равновесия устойчиво.
Для определения заряда $Q_{0}$, при котором заряд $q$ будет находиться в верхней точке сферы, достаточно положить в (3) $\theta = \pi$:
$Q_{0} \geq \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q}$.
Отметим, что при этом кулоновская сила $F$ по меньшей мере в два раза больше силы тяжести $mg$. В равновесии в верхней точке заряд будет находиться и в случае $mg < F < 2mg$. Однако при этом равновесие будет неустойчивым.
Ответ: a) $Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$ Равновесие устойчиво.
б) $Q_{0} \geq \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q}$
