Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2115
2017-01-16 
Внутри гладкой непроводящей сферы радиуса $R$ находится маленький шарик с зарядом $q$ и массой $m$ (см. рис.). В нижней точке сферы закреплен заряд $Q$. Чему равна величина этого заряда, если шарик покоится, находясь в такой точке, что проведенный через нее радиус составляет острый угол $\theta$ с вертикалью? Устойчиво ли равновесие заряда $q$?
Решение:
На рис. изображены силы, действующие на шарик: $\vec{F}$ — сила кулоновского взаимодействия зарядов, $m \vec{g}$ — сила тяжести и $\vec{N}$ — сила реакции опоры. Поскольку внутЧ ренняя поверхность сферы гладкая, сила трения отсутствует. В равновесии сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:
$\vec{F} + m \vec{g} + \vec{N} = 0$. (1)
Сила кулоновского взаимодействия зарядов $q$ и $Q$ равна
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{4R^{2} \sin^{2} \theta}$ (2)
Проектируя уравнение (1) на направление, касательное к окружности в точке А, получаем связь между силой $F$ и $mg$:
$F = 2mg \sin \frac{ \theta}{2}$. (3)
Приравнивая выражения (2) и (3), находим:
$Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$.
Устойчивость равновесия очевидна из качественных соображений. Действительно, силы $\vec{F}$ и $m \vec{g}$ направлены таким образом, что стремятся прижать шарик к поверхности сферы. Если шарик вывести из положения равновесия так, чтобы сила реакции $\vec{N}$ обратилась в нуль, то силы $\vec{F}$ и $m \vec{g}$ возвратят шарик на поверхность сферы. Если шарик сдвинуть вниз вдоль поверхности, то возникнет сила, направленная к положению равновесия, так как сила $F$ возрастет. Наоборот, если шарик сдвинуть вверх, сила $F$ уменьшится и опять возникнет результирующая сила, стремящаяся вернуть шарик в исходное состояние.
Ответ: $Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$. Равновесие устойчиво.
Внутри гладкой непроводящей сферы радиуса $R$ находится маленький шарик с зарядом $q$ и массой $m$ (см. рис.). В нижней точке сферы закреплен заряд $Q$. Чему равна величина этого заряда, если шарик покоится, находясь в такой точке, что проведенный через нее радиус составляет острый угол $\theta$ с вертикалью? Устойчиво ли равновесие заряда $q$?
Решение:
На рис. изображены силы, действующие на шарик: $\vec{F}$ — сила кулоновского взаимодействия зарядов, $m \vec{g}$ — сила тяжести и $\vec{N}$ — сила реакции опоры. Поскольку внутЧ ренняя поверхность сферы гладкая, сила трения отсутствует. В равновесии сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:
$\vec{F} + m \vec{g} + \vec{N} = 0$. (1)
Сила кулоновского взаимодействия зарядов $q$ и $Q$ равна
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{4R^{2} \sin^{2} \theta}$ (2)
Проектируя уравнение (1) на направление, касательное к окружности в точке А, получаем связь между силой $F$ и $mg$:
$F = 2mg \sin \frac{ \theta}{2}$. (3)
Приравнивая выражения (2) и (3), находим:
$Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mg R^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$.
Устойчивость равновесия очевидна из качественных соображений. Действительно, силы $\vec{F}$ и $m \vec{g}$ направлены таким образом, что стремятся прижать шарик к поверхности сферы. Если шарик вывести из положения равновесия так, чтобы сила реакции $\vec{N}$ обратилась в нуль, то силы $\vec{F}$ и $m \vec{g}$ возвратят шарик на поверхность сферы. Если шарик сдвинуть вниз вдоль поверхности, то возникнет сила, направленная к положению равновесия, так как сила $F$ возрастет. Наоборот, если шарик сдвинуть вверх, сила $F$ уменьшится и опять возникнет результирующая сила, стремящаяся вернуть шарик в исходное состояние.
Ответ: $Q = \frac{32 \pi \epsilon_{0} mgR^{2}}{q} \sin^{3} \frac{ \theta}{2}$. Равновесие устойчиво.
