Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2114
2017-01-16 
Мячик массой $m$ бросили вертикально вверх с начальной скоростью $V_{0}$. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить, сколько времени мячик находился в полете, если он упал обратно со скоростью $V_{1} < V_{0}$.
Решение:
Запишем уравнение второго закона Ньютона для мячика в проекции на вертикальную ось, направленную вдоль ускорения свободного падения $\vec{g}$. При полете вверх и сила тяжести $mg$ и сопротивления воздуха, пропорциональная скорости $kV$ направлены в одну сторону:
$m \frac{ \Delta V}{ \Delta t} = kV + mg$. (1)
Умножая обе части уравнения на $\Delta t$ и учитывая, что $V \Delta t$ представляет собой путь $\Delta S$, пройденный мячом за время $\Delta t$, получаем:
$m \Delta V = k \Delta S + mg \Delta t$. (2)
Равенство (2) можно написать для любого интервала времени во время полета вверх. Разбив все время полета на интервалы и складывая левые и правые части (2) для всех интервалов, имеем:
$mV_{0} = kS + mgt_{1}$. (3)
В этом выражении слева стоит полное изменение проекции импульса на вертикальную ось за время полета вверх (здесь учтено, что конечный импульс мячика равен нулю, а начальный, при выбранном направлении оси $-mV_{0}$). Справа через $S$ обозначена высота подъема мячика, а через $t_{1}$ — время полета до верхней точки.
Аналогично при полете вниз получаем:
$mv_{1} = -kS + mgt_{2}$, (4)
где $t_{2}$ — время полета вниз. При выводе (4) использовано, что расстояние, пройденное мячиком вверх и вниз, одинаково, но на пути вниз сила тяжести и сопротивления воздуха направлены в разные стороны. Складывая (3) и (4), получаем:
Ответ: $t = (V_{0} + V_{1})/g$.
Мячик массой $m$ бросили вертикально вверх с начальной скоростью $V_{0}$. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить, сколько времени мячик находился в полете, если он упал обратно со скоростью $V_{1} < V_{0}$.
Решение:
Запишем уравнение второго закона Ньютона для мячика в проекции на вертикальную ось, направленную вдоль ускорения свободного падения $\vec{g}$. При полете вверх и сила тяжести $mg$ и сопротивления воздуха, пропорциональная скорости $kV$ направлены в одну сторону:
$m \frac{ \Delta V}{ \Delta t} = kV + mg$. (1)
Умножая обе части уравнения на $\Delta t$ и учитывая, что $V \Delta t$ представляет собой путь $\Delta S$, пройденный мячом за время $\Delta t$, получаем:
$m \Delta V = k \Delta S + mg \Delta t$. (2)
Равенство (2) можно написать для любого интервала времени во время полета вверх. Разбив все время полета на интервалы и складывая левые и правые части (2) для всех интервалов, имеем:
$mV_{0} = kS + mgt_{1}$. (3)
В этом выражении слева стоит полное изменение проекции импульса на вертикальную ось за время полета вверх (здесь учтено, что конечный импульс мячика равен нулю, а начальный, при выбранном направлении оси $-mV_{0}$). Справа через $S$ обозначена высота подъема мячика, а через $t_{1}$ — время полета до верхней точки.
Аналогично при полете вниз получаем:
$mv_{1} = -kS + mgt_{2}$, (4)
где $t_{2}$ — время полета вниз. При выводе (4) использовано, что расстояние, пройденное мячиком вверх и вниз, одинаково, но на пути вниз сила тяжести и сопротивления воздуха направлены в разные стороны. Складывая (3) и (4), получаем:
Ответ: $t = (V_{0} + V_{1})/g$.
