Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2109
2017-01-16 
В полусферический колокол, плотно лежащий на резиновом коврике на столе, наливают сверху через отверстие воду (см. рис.). Когда уровень воды доходит до отверстия, вода начинает вытекать снизу из-под колокола. Найти массу колокола, если его внутренний радиус равен $R$, а плотность воды равна $\rho$.
Решение:
Вытекание воды возможно только в том случае, если колокол начинает приподниматься над подставкой. Очевидно, что приподнять колокол могут только вертикальные составляющие сил давления воды в каждой точке внутренней поверхности колокола. Из соображений симметрии ясно, что равнодействующая всех сил направлена вертикально вверх. Когда ее модуль сравняется с модулем действующей на колокол силы тяжести, вода и начнет вытекать. Представим себе, что колокол вместе с налитой внутрь него водой стоит на весах. Показания весов, очевидно, определяются силой тяжести, действующей на колокол и воду. С другой стороны в тот момент, когда колокол начинает приподниматься, он перестает давить на подставку, а следовательно, и на чашку весов. Давит на подставку только вода, причем сила давления воды больше чем ее сила тяжести, поскольку колокол сужается кверху. В момент отрыва сила давления воды равна сумме сил тяжести колокола и воды в нем. Площадь основания колокола равна $\pi R^{2}$, вода налита в него до высоты $h = R$, поэтому сила давления жидкости есть
$F_{д} = \rho gR \pi R^{2} = \pi \rho g R^{3}$.
Объем полусферы равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3}$, поэтому действующая на воду сила тяжести равна:
$m_{B}g = \frac{2}{3} \pi \rho g R^{3}$.
Обозначив массу колокола через $m$, получаем:
$\pi \rho g R^{3} = \frac{2}{3} \pi \rho g R^{3} + mg$,
откуда $m = (1/3) \pi \rho R^{3}$.
Описанный прием дает возможность решать аналогичные задачи в случаях, когда колокол имеет более сложную, даже причудливую форму. Для того, чтобы найти массу колокола, достаточно знать объем внутренней части колокола, которая заполняется водой, площадь основания и высоту, до которой нужно налить воду, чтобы она начала вытекать из под колокола.
Ответ: $m = \frac{1}{3} \pi \rho R^{3}$.
В полусферический колокол, плотно лежащий на резиновом коврике на столе, наливают сверху через отверстие воду (см. рис.). Когда уровень воды доходит до отверстия, вода начинает вытекать снизу из-под колокола. Найти массу колокола, если его внутренний радиус равен $R$, а плотность воды равна $\rho$.
Решение:
Вытекание воды возможно только в том случае, если колокол начинает приподниматься над подставкой. Очевидно, что приподнять колокол могут только вертикальные составляющие сил давления воды в каждой точке внутренней поверхности колокола. Из соображений симметрии ясно, что равнодействующая всех сил направлена вертикально вверх. Когда ее модуль сравняется с модулем действующей на колокол силы тяжести, вода и начнет вытекать. Представим себе, что колокол вместе с налитой внутрь него водой стоит на весах. Показания весов, очевидно, определяются силой тяжести, действующей на колокол и воду. С другой стороны в тот момент, когда колокол начинает приподниматься, он перестает давить на подставку, а следовательно, и на чашку весов. Давит на подставку только вода, причем сила давления воды больше чем ее сила тяжести, поскольку колокол сужается кверху. В момент отрыва сила давления воды равна сумме сил тяжести колокола и воды в нем. Площадь основания колокола равна $\pi R^{2}$, вода налита в него до высоты $h = R$, поэтому сила давления жидкости есть
$F_{д} = \rho gR \pi R^{2} = \pi \rho g R^{3}$.
Объем полусферы равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3}$, поэтому действующая на воду сила тяжести равна:
$m_{B}g = \frac{2}{3} \pi \rho g R^{3}$.
Обозначив массу колокола через $m$, получаем:
$\pi \rho g R^{3} = \frac{2}{3} \pi \rho g R^{3} + mg$,
откуда $m = (1/3) \pi \rho R^{3}$.
Описанный прием дает возможность решать аналогичные задачи в случаях, когда колокол имеет более сложную, даже причудливую форму. Для того, чтобы найти массу колокола, достаточно знать объем внутренней части колокола, которая заполняется водой, площадь основания и высоту, до которой нужно налить воду, чтобы она начала вытекать из под колокола.
Ответ: $m = \frac{1}{3} \pi \rho R^{3}$.
