Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2107
2017-01-16 
На расположенную горизонтально пластину насыпан мелкий песок. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости с частотой 500 Гц. Какова амплитуда колебаний пластины, если песчинки отрываются от пластины и подскакивают на высоту 3 мм по отношению к их положению при неподвижной пластине?
Решение:
На песчинки со стороны подставки действует некоторая сила $f$. Под действием этой силы и силы тяжести песчинки вплоть до момента их отрыва движутся с ускорением, равным ускорению пластинки. Следовательно, $f = m(g+a)$, где $m$ — масса песчинки, а $a$ — ускорение пластинки. При гармонических колебаниях ускорение $a$ связано со смещением $x$ равенством $a = - \omega^{2}x ( \omega = 2 \pi \nu$ — угловая частота колебаний). Поэтому отрыв песчинок ($f = 0$) произойдет при $x = g/ \omega^{2}$. Изменение кинетической энергии с момента прохождения пластиной положения равновесия до момента отрыва песчинок от подставки равно работе равнодействующей всех сил $F = - m \omega^{2} x$, действующей на песчинки:
$\frac{mV^{2}}{2} - \frac{m \omega^{2} A^{2}}{2} = - \frac{m \omega^{2} x^{2}}{2} = \frac{mg^{2}}{ 2 \omega^{2}}$. (1)
Здесь $V$ — скорость песчинок в момент отрыва, $A$ — амплитуда колебаний подставки.
После отрыва песчинки движутся только под действием силы тяжести. Значит, кинетическая энергия в момент отрыва равна потенциальной энергии в поле тяжести в верхней точке :
$\frac{mV^{2}}{2} = mg(h-x) = mg \left ( h - \frac{g}{ \omega^{2}} \right )$. (2)
Выражая из (1) и (2) амплитуду $A$, получаем: $A = \frac{g}{ \omega} \sqrt{ \frac{2h}{g} - \frac{1}{ \omega^{2}}} \approx 7,7 мм$.
Ответ: $A = \frac{g}{ \omega} \sqrt{ \frac{2h}{g} - \frac{1}{ \omega^{2}}} \approx 7,7 \cdot 10^{-3} см$.
На расположенную горизонтально пластину насыпан мелкий песок. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости с частотой 500 Гц. Какова амплитуда колебаний пластины, если песчинки отрываются от пластины и подскакивают на высоту 3 мм по отношению к их положению при неподвижной пластине?
Решение:
На песчинки со стороны подставки действует некоторая сила $f$. Под действием этой силы и силы тяжести песчинки вплоть до момента их отрыва движутся с ускорением, равным ускорению пластинки. Следовательно, $f = m(g+a)$, где $m$ — масса песчинки, а $a$ — ускорение пластинки. При гармонических колебаниях ускорение $a$ связано со смещением $x$ равенством $a = - \omega^{2}x ( \omega = 2 \pi \nu$ — угловая частота колебаний). Поэтому отрыв песчинок ($f = 0$) произойдет при $x = g/ \omega^{2}$. Изменение кинетической энергии с момента прохождения пластиной положения равновесия до момента отрыва песчинок от подставки равно работе равнодействующей всех сил $F = - m \omega^{2} x$, действующей на песчинки:
$\frac{mV^{2}}{2} - \frac{m \omega^{2} A^{2}}{2} = - \frac{m \omega^{2} x^{2}}{2} = \frac{mg^{2}}{ 2 \omega^{2}}$. (1)
Здесь $V$ — скорость песчинок в момент отрыва, $A$ — амплитуда колебаний подставки.
После отрыва песчинки движутся только под действием силы тяжести. Значит, кинетическая энергия в момент отрыва равна потенциальной энергии в поле тяжести в верхней точке :
$\frac{mV^{2}}{2} = mg(h-x) = mg \left ( h - \frac{g}{ \omega^{2}} \right )$. (2)
Выражая из (1) и (2) амплитуду $A$, получаем: $A = \frac{g}{ \omega} \sqrt{ \frac{2h}{g} - \frac{1}{ \omega^{2}}} \approx 7,7 мм$.
Ответ: $A = \frac{g}{ \omega} \sqrt{ \frac{2h}{g} - \frac{1}{ \omega^{2}}} \approx 7,7 \cdot 10^{-3} см$.
