Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2106
2017-01-16 
Пружина пренебрежимо малой массы установлена на полу в вертикальном положении. Сверху на пружину кладется небольшой предмет. Если его жестко прикрепить к пружине, и вывести из состояния равновесия, он совершает колебания с периодом $T = 0,25 с$. Если предмет не прикреплять, опустить на $x_{0} = 5 см$, а затем отпустить, он отделяется от пружины. На какую высоту $H$ подскочит предмет в отсутствие сопротивления воздуха?
Решение:
Предмет отделится от пружины после прохождения положения равновесия, когда сила, действующая на него со стороны пружины, обратится в нуль. Положению равновесия отвечает состояние, при котором сила тяжести $mg$, действующая на тело, уравновешивается силой упругости $kx$ со стороны пружины. При этом пружина сжата на величину $x = mg/k$. Приравнивая энергию пружины в момент, когда тело только отпустили, потенциальной энергии тела на максимальной высоте $H$, имеем: $mgH = k(x_{0} + x)^{2}/2$. Отсюда
$H = \frac{k(x_{0} + mg/k)^{2}}{2mg} = \frac{kx_{0}^{2}}{2mg} + x_{0} + \frac{mg}{2k}$.
Учитывая что период колебаний $T$ выражается через массу тела $m$ и жесткость пружины $K$ как $T = 2 \pi \sqrt{m/k}$, для $H$ получаем:
$H = x_{0} + \frac{2 \pi^{2} x_{0}^{2}}{gT^{2}} + \frac{gT^{2}}{8 \pi^{2}} \approx 13,8 см$.
Ответ: предмет поднимется на высоту $H = x_{0} + \frac{2 \pi^{2} x_{0}^{2}}{gT^{2}} + \frac{gT^{2}}{8 \pi^{2}} \approx 13,8 см$ относительно положения груза в момент, когда его только отпустили.
Пружина пренебрежимо малой массы установлена на полу в вертикальном положении. Сверху на пружину кладется небольшой предмет. Если его жестко прикрепить к пружине, и вывести из состояния равновесия, он совершает колебания с периодом $T = 0,25 с$. Если предмет не прикреплять, опустить на $x_{0} = 5 см$, а затем отпустить, он отделяется от пружины. На какую высоту $H$ подскочит предмет в отсутствие сопротивления воздуха?
Решение:
Предмет отделится от пружины после прохождения положения равновесия, когда сила, действующая на него со стороны пружины, обратится в нуль. Положению равновесия отвечает состояние, при котором сила тяжести $mg$, действующая на тело, уравновешивается силой упругости $kx$ со стороны пружины. При этом пружина сжата на величину $x = mg/k$. Приравнивая энергию пружины в момент, когда тело только отпустили, потенциальной энергии тела на максимальной высоте $H$, имеем: $mgH = k(x_{0} + x)^{2}/2$. Отсюда
$H = \frac{k(x_{0} + mg/k)^{2}}{2mg} = \frac{kx_{0}^{2}}{2mg} + x_{0} + \frac{mg}{2k}$.
Учитывая что период колебаний $T$ выражается через массу тела $m$ и жесткость пружины $K$ как $T = 2 \pi \sqrt{m/k}$, для $H$ получаем:
$H = x_{0} + \frac{2 \pi^{2} x_{0}^{2}}{gT^{2}} + \frac{gT^{2}}{8 \pi^{2}} \approx 13,8 см$.
Ответ: предмет поднимется на высоту $H = x_{0} + \frac{2 \pi^{2} x_{0}^{2}}{gT^{2}} + \frac{gT^{2}}{8 \pi^{2}} \approx 13,8 см$ относительно положения груза в момент, когда его только отпустили.
