Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2105
2017-01-15 
При причаливании к пристани можно остановить движение даже большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат оборачивают несколько раз вокруг тумбы, и тогда оказывается достаточно приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал большой корабль. Рассчитать, во сколько раз действующая на корабль со стороны каната сила превосходит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен $\mu$.
Решение:
рис.1
рис.2
Большой выигрыш в силе достигается благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент $\Delta l$ витка каната на тумбе, характеризуемый углом $\Delta \alpha$ (рис. 1). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения $T$ и $T + \Delta T$, направленные по касательным к поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие величины этих сил $\Delta T$ обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу $\Delta l$ силой реакции тумбы $\Delta N$. Как видно из построения на рис. 2, в котором учтено, что для малого элемента витка $\Delta l$ отношение $\Delta T/T \ll 1$,
$\Delta N \approx T \Delta \alpha$. (1)
Величина силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$ связана с величиной силы нормальной реакции $\Delta N$ соотношением
$\Delta F_{тр} = \mu \Delta N$. (2)
Подставляя сюда $\Delta N$ из (1) и учитывая, что $\Delta F_{тр} = \Delta T$, получаем:
$\Delta T = \mu T \Delta \alpha$. (3)
Рассмотрим теперь натяжение каната $T$ как функцию угла $\alpha$. Тогда, переходя в (3) к пределу $\Delta \alpha \rightarrow 0$, приходим к дифференциальному уравнению
$\frac{dT}{d \alpha} = \mu T( \alpha)$. (4)
Такое уравнение, когда производная от функции пропорциональна самой функции, имеет решение
$T( \alpha) = Ce^{ \mu \alpha}$. (5)
Постоянная $C$ имеет смысл силы натяжения каната $T_{0}$ при $\alpha = 0$, т.е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому
$T( \alpha) = T_{0} e^{ \mu \alpha}$. (6)
Из этого выражения видно, что отношение натяжения на одном конце каната к натяжению на другом, равное $e^{ \mu \alpha}$, не зависит ни от диаметра тумбы, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения $\mu$ и числом оборотов $n = \alpha/2 \pi$.
Ответ: сила, действующая на корабль, превосходит силу, приложенную к свободному концу каната в $e^{ 2 \pi \mu n}$ раз, где $n$ — число оборотов каната вокруг тумбы.
При причаливании к пристани можно остановить движение даже большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат оборачивают несколько раз вокруг тумбы, и тогда оказывается достаточно приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал большой корабль. Рассчитать, во сколько раз действующая на корабль со стороны каната сила превосходит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен $\mu$.
Решение:
рис.1
рис.2
Большой выигрыш в силе достигается благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент $\Delta l$ витка каната на тумбе, характеризуемый углом $\Delta \alpha$ (рис. 1). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения $T$ и $T + \Delta T$, направленные по касательным к поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие величины этих сил $\Delta T$ обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу $\Delta l$ силой реакции тумбы $\Delta N$. Как видно из построения на рис. 2, в котором учтено, что для малого элемента витка $\Delta l$ отношение $\Delta T/T \ll 1$,
$\Delta N \approx T \Delta \alpha$. (1)
Величина силы трения скольжения $\Delta F_{тр}$ связана с величиной силы нормальной реакции $\Delta N$ соотношением
$\Delta F_{тр} = \mu \Delta N$. (2)
Подставляя сюда $\Delta N$ из (1) и учитывая, что $\Delta F_{тр} = \Delta T$, получаем:
$\Delta T = \mu T \Delta \alpha$. (3)
Рассмотрим теперь натяжение каната $T$ как функцию угла $\alpha$. Тогда, переходя в (3) к пределу $\Delta \alpha \rightarrow 0$, приходим к дифференциальному уравнению
$\frac{dT}{d \alpha} = \mu T( \alpha)$. (4)
Такое уравнение, когда производная от функции пропорциональна самой функции, имеет решение
$T( \alpha) = Ce^{ \mu \alpha}$. (5)
Постоянная $C$ имеет смысл силы натяжения каната $T_{0}$ при $\alpha = 0$, т.е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому
$T( \alpha) = T_{0} e^{ \mu \alpha}$. (6)
Из этого выражения видно, что отношение натяжения на одном конце каната к натяжению на другом, равное $e^{ \mu \alpha}$, не зависит ни от диаметра тумбы, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения $\mu$ и числом оборотов $n = \alpha/2 \pi$.
Ответ: сила, действующая на корабль, превосходит силу, приложенную к свободному концу каната в $e^{ 2 \pi \mu n}$ раз, где $n$ — число оборотов каната вокруг тумбы.
