2017-01-15
Лестница прислонена к наклонной стене, образующей угол $\beta$ с вертикалью (см. рис.). При каком коэффициенте трения лестницы о стенку возможно равновесие даже в том случае, когда пол идеально гладкий.
Решение:
рис.1
рис.2
Прежде всего отметим, что лестница, прислоненная к вертикальной стенке, вообще не может находиться в равновесии, если нет трения о пол — она обязательно соскользнет по стенке. Более того, верхний конец лестницы при таком соскальзывании обязательно отделится от стенки раньше, чем лестница окажется на полу. Невозможность равновесия у вертикальной стенки на гладком полу очевидна из рис. 1: нормальная сила реакции стенки $\vec{N}_{2}$ должна быть отлична от нуля так как иначе не будет уравновешен момент силы тяжести $m \vec{g}$ относительно точки А; но сама сила $\vec{N}_{2}$ может быть уравновешена только горизонтально направленной силой трения о пол.
А вот равновесие у наклонной шероховатой стенки возможно и на идеально гладком полу. На рис. 2 изображены силы, действующие на лестницу. Поскольку силы $m \vec{g}$ и $\vec{N}_{1}$ направлены вертикально, то в равновесии горизонтальные составляющие силы $\vec{N}_{2}$ и $\vec{F}_{тр}$ должны быть равны:
$N_{2} \cos \beta = F_{тр} \sin \beta$. (1)
Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$ максимальна на пороге проскальзывания, когда ее значение равно $\mu N_{2}$. Из формулы (1) в этом случае находим
$\mu = ctg \beta$. (2)
Формула (2) дает минимальное значение коэффициента трения $\mu$, при котором возможно равновесие у наклонной стенки с углом наклона $\beta$ в отсутствие трения о пол. При этом лестница как бы цепляется за шероховатую стенку, а другим концом давит на гладкий пол.
Обратим внимание на то, что условие равновесия лестницы не зависит ни от того, насколько наклонена сама лестница, ни от того, в каком месте приложена сила тяжести $m \vec{g}$ и каково ее значение. Это значит, что лестница будет в равновесии и в том случае, если на ней в любом месте стоит человек.
Отметим, наконец, что условие (2) совпадает с выражением для предельного коэффициента трения, при котором возможно равновесие небольшого бруска, положенного на наклонную стенку.
Ответ: $\mu = ctg \beta$.