2017-01-15
Какой наибольший угол с вертикалью может образовать прислоненная к вертикальной стене лестница, центр масс которой находится на середине ее длины? Коэффициент трения лестницы о пол $\mu_{1}$, о стену — $\mu_{2}$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Действующие на лестницу силы показаны на рис. 1. Заранее нельзя считать, что модули сил трения $F_{1}$ и $F_{2}$ пропорциональны силам нормальной реакции $N_{1}$ и $N_{2}$, а коэффициенты пропорциональности представляют собой коэффициенты трения о пол $\mu_{1}$ и стену $\mu_{2}$. Условия равновесия для сил в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления дает равенства:
$N_{2} - F_{1} = 0$, (1)
$N_{1} + F_{2} - mg = 0$. (2)
Условие равновесия моментов сил относительно точки приложения силы тяжести имеет вид:
$N_{1} \sin \alpha = N_{2} \cos \alpha + F_{1} \cos \alpha + F_{2} \sin \alpha$. (3)
Из соотношения (3) получаем выражение для тангенса угла $\alpha$ наклона лестницы к вертикали
$tg \alpha = \frac{N_{2} + F_{1}}{N_{1} - F_{2}}$. (4)
С помощью равенств (1) и (2) выражение (4) можно переписать так:
1$tg \alpha = \frac{2N_{2}}{mg - 2F_{2}}$. (5)
Из выражения (5) следует, что $tg \alpha$ будет тем больше, чем больше $N_{2}$ и $F_{2}$. Но при заданном $N_{2}$ величина $F_{2}$ наибольшая, когда $F_{2} = \mu_{2} N_{2}$. Из равенства (1) видно, что $N_{2}$ равна $F_{1}$, и, следовательно, максимальная величина $N_{2}$ достигается при $F_{1} = \mu_{1} N_{1}$.
Итак, мы доказали, что максимальный угол наклона лестницы к стене реализуется при одновременном выполнении условий
$F_{1} = \mu_{1} N_{1}$ и $F_{2} = \mu_{2} N_{2}$. (6)
Подставляя (6) в (1) и (2), находим
$N_{2} = \frac{ \mu_{1}}{1 + \mu_{1} \mu_{2}} mg$. (7)
Теперь для $F_{2}$ имеем:
$F_{2} = \mu_{2}N_{2} = \frac{ \mu_{1} \mu_{2}}{1 + \mu_{1} \mu_{2}} mg$. (8)
Подставляя (7) и (8) в (5), получаем:
$tg \alpha = \frac{2 \mu_{1}}{1 - \mu_{1} \mu_{2}}$. (9)
Отметим, что доказать справедливость равенства (6) можно иначе, учитывая, что $\vec{F}_{i}$ и $\vec{N}_{i} (i = 1,2)$ можно рассматривать как составляющие полных сил реакции опоры $\vec{Q}_{i}$ (рис.). В этом случае на лестницу действуют только три силы — $m \vec{g}, \vec{Q}_{1}$ и $\vec{Q}_{2}$. Линии их действия должны пересекаться в одной точке, лежащей на вертикали, вдоль которой действует сила тяжести $m \vec{g}$. Непосредственно из рисунка видно, что угол $\alpha$ будет тем больше, чем больше значения углов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$. Но максимальные значения $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ достигаются тогда, когда выполняется условие (6), причем $tg \phi_{1} = \mu_{1}, tg \phi_{2} = \mu_{2}$. Рис. позволяет сразу установить, что в отсутствие трения о пол равновесие лестницы невозможно. Действительно, в этом случае сила $\vec{Q}_{1}$ вертикальна и не пересекается с линией, по которой действует $m \vec{g}$. Напротив, в отсутствие трения о стену равновесие возможно: реакция $\vec{Q}_{2}$ направлена перпендикулярно стене, и все три силы могут пересечься в одной точке (рис.). Из рисунка сразу видно, что максимальный угол $\alpha$ при этом находится из соотношения
$tg \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{2DC}{AB} = 2 tg \phi_{1} = 2 \mu_{1}$. (10)
что совпадает с (9) при $\mu_{2} = 0$.
Ответ: $tg \alpha = \frac{2 \mu_{1}}{1 - \mu_{1} \mu_{2}}$.