2017-01-15
Однородная доска находится в равновесии в прямом двугранном угле с гладкими стенками. На рисунке показано сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Как расположена доска? Устойчиво ли ее равновесие?
Решение:
рис.1
рис.2
В отсутствие трения на доску действует три силы — сила тяжести $m \vec{g}$, приложенная в ее центре, и две силы реакции опор $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$, направленные перпендикулярно граням угла. В равновесии линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Так как двугранный угол прямой, линия действия силы тяжести должна пройти через вершину прямого угла. Из рис. 1 ясно, как построением найти положение доски в равновесии: проводим вертикаль через вершину угла и откладываем на ней от вершины отрезок, равный длине доски. Из конца этого отрезка опускаем перпендикуляр на грани угла. Положение доски совпадает со второй диагональю получившегося прямоугольника. При этом угол $\alpha$, который образует доска с одной из граней двугранного угла, равен углу, который другая грань образует с горизонтом.
Если перемещать доску около положения равновесия так, чтобы ее концы скользили по граням угла, то центр тяжести доски перемещается по дуге окружности, центр которой совпадает с вершиной прямого угла, а радиус равен половине длины доски. В самом деле, в этом случае доска выступает как диаметр окружности, на которую опирается прямой угол. В положении равновесия радиус, соединяющий вершину прямого угла с центром масс доски, расположен вертикально. При смещении доски из равновесия ее потенциальная энергия убывает, т.е. равновесие неустойчиво (рис.2).
Ответ: в равновесии угол, который образует доска с одной из граней двугранного угла, равен углу, который другая грань образует с горизонтом. Равновесие неустойчиво.