2017-01-15
Где находится центр масс однородного проволочного полукольца?
Решение:
Заменим полукольцо половиной вписанного в окружность радиусом $R$ правильного многоугольника $ABCD \cdots$, сделанного из той же проволоки, и найдем момент сил тяжести, приложенных к звеньям многоугольника, относительно вертикальной оси ОА — оси х (рис.):
$M = \rho lg(P_{1}O_{1} + P_{2}O_{2} + \cdots)$.
Здесь $\rho$ — линейная плотность проволоки, $l$ — длина одного звена, $P_{1}O_{1}, P_{2}O_{2} \cdots$ — расстояния от оси до середины звеньев.
Заметим теперь, что треугольники $AB^{ \prime}B$ и $O_{1}P_{1}O$ подобны. Следовательно,
$\frac{AB^{ \prime}}{AB} = \frac{P_{1}O_{1}}{OO_{1}}$ или $l \cdot P_{1}O_{1} = AB^{ \prime} \cdot OO_{1}$.
Аналогично, из подобия треугольников $BQC$ и $OP_{2}O_{2}$ получаем: $l \cdot P_{2}O_{2} = B^{ \prime}C^{ \prime} \cdot OO_{2}$.
Обозначив $OO_{1} = OO_{2} = \cdots = h$, имеем:
$M = \rho hg (AB^{ \prime} + B^{ \prime}C^{ \prime} + \cdots)$.
Выражение в скобках дает удвоенный радиус (диаметр) окружности: $M = 2R \rho hg$. Если число звеньев вписанного многоугольника устремить к бесконечности, величина $h$ будет стремиться к радиусу окружности $R$, а момент к $2R^{2} \rho g$. С другой стороны, момент равен произведению силы тяжести проволоки $|pi R \rho g$ на расстояние $y_{c}$ от центра тяжести до оси ОА. Таким образом
$2R^{2} \rho g = \pi R \rho g y_{c}$,
откуда $y_{c} = 2R/ \pi$.
Ответ: в системе координат с началом в центре полукольца, когда положительная полуось $y$ содержит все $y$-координаты его точек, координаты центра масс: $x_{c} = 0, y_{x} = 2R/ \pi$.