2017-01-15
Однородная тонкая пластинка имеет форму круга, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края пластинки. Найти положение центра масс пластинки.
Решение:
Пластинка показана на рис.. Предположим, что маленький круг еще не вырезан, а только нарисован на большом круге. Тогда сила тяжести, действующая на весь большой круг, приложена в центре большого круга О, а ее модуль равен $\rho g \pi R^{2} d$, где $R$ — радиус круга, $d$ — его толщина, $\rho$ — плотность материала, из которого сделана пластина. Эта сила тяжести может рассматриваться как равнодействующая сил тяжести, действующих на малый круг и остальную часть пластинки. Сила тяжести, действующая на малый круг, приложена в его центре и равна по модулю $\rho g \pi (R/2)^{2} d$. Сила тяжести, действующая на остальную часть большого круга, по модулю равна разности $\rho g \pi R^{2} d - \rho g \pi (R/2)^{2} d$. Точка ее приложения, как ясно из соображений симметрии, лежит на прямой, проходящей через центры обоих кругов, на расстоянии х от центра большого круга. Если подпереть большой круг в его центре, то он будет в состоянии равновесия: сила реакции опоры уравновесит силу тяжести. Если же рассматривать полную силу тяжести как равнодействующую двух указанных сил, то можно написать условие уравновешивания их моментов относительно центра большого круга:
$\rho g \pi (R/2)^{2} d \cdot R/2 = \rho g \pi [R^{2} - (R/2)^{2}] d \cdot x$.
Отсюда $x = R/6$.
Ответ: центр масс расположен на расстоянии $x = R/6$ от центра пластинки на прямой, соединяющей центры пластинки и вырезанного из нее круга.